* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВВЕДЕНИЕ: ЧТО ТАКОЕ ПЛОЩАДЬ? 9 что путеы надлежащего выбора многоугольных фигур Р и Q мы можем сделать последнюю разность сколь угодно малой. Тогда и погрешности наших приближений могут быть сделаны сколь угодно малыми. Это значит, что площадь фигуры F может быть вычислена с произвольной степенью точности. Ясно, что этот метод применим только к таким фигурам F, для которых существуют входящие многоугольные фигуры Р и объем­ лющие многоугольные фигуры Q со сколь угодно малыми разностями пл. Q — пл. Р. Такие фигуры F называются квадрируемыми. На­ пример, круг — квадрируемая фигура. Для него в качестве Р и Q могут быть взяты правильные 2"-угольники — вписанный и описан­ ный. Известно, что разность площадей этих 2 -угольников стре­ мится к нулю при п—• оо. Класс квадрируемых фигур очень широк. Только с квадрируемыми фигурами и имеет дело теория площадей, которой мы будем заниматься. 1.3. Аксиоматическое определение площади. Оказывается, что сведений, которыми мы уже располагаем, достаточно для определе­ ния площади. Нужно лишь взглянуть на них с новой точки зрения. Отделим прежде всего чисто математические сведения о пло­ щади, содержащиеся в пп. 1.1 и 1.2, от исторических и иных соображений. Эти сведения сводятся к трем положениям: (1) Каждой квадрируемой фигуре отвечает определенное число — ее площадь. (2) Эти числа-площади обладают свойствами ( а ) — (6). (3) Площадь .любой квадрируемой фигуры можно вычислить с произвольной степенью точности на основании свойств (а) — (6). Первое по­ ложение означает, что площадь есть ф у н к ц и я , определенная на классе квадрируемых фигур. Согласно второму эта функция обладает свойствами (а) — (6). Третье положение показывает, что на классе квадрируемых фигур не существует другой функции со свойствами (а) — (б). Следовательно, площадь может быть опре­ делена как функция квадрируемой фигуры, обладающая свойст­ вами (а) —(б). К сожалению, эта краткая формулировка не безупречна: она предполагает, что класс квадрируемых фигур уже определен, тогда как определение этого класса само опирается на понятие площади, правда, только на понятие площади многоугольной фи­ гуры. Чтобы устранить это затруднение, достаточно предварительно, с помощью тех же условий (а) — (6), определить площадь на классе многоугольных фигур. Полная формулировка определения площади состоит, таким образом, из трех частей: сначала площадь опреде­ ляется как функция со свойствами (а) — (6) на классе многоуголь­ ных фигур; затем определяется класс квадрируемых фигур; нако­ нец, площадь определяется как функция со свойствами (а) — (6) на классе квадрируемых фигур. л