* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

8 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ (а) Площадь фигуры есть неотрицательное число. (р) Площадь фигуры, составленной из нескольких фигур без общих внутренних точек, равна сумме площадей этих фигур, (у) Равные фигуры имеют равные площади. (б) Площадь единичного квадрата равна единице. Свойство (а) называется положительностью, (Р) — аддитив­ ностью, (у) — инвариантностью, (6) — нормированностью. Иод единичным квадратом понимается квадрат, построенный на единичном отрезке. Подчеркнем, что в этой статье речь идет исключительно о площадях плоских фигур. Конечно, в действительности четыре свойства не были единст­ венными, которыми математики пользовались при вычислении пло­ щадей. Но все другие свойства площади, которые они явно или неявно использовали, оказались следствиями этих четырех. В ка­ честве примера укажем на широко известное свойство, называемое монотонностью: площадь части фигуры не превышает площади всей фигуры. Монотонность есть следствие положительности и ад­ дитивности. Действительно, пусть Т —фигура и G—ее часть. Обозначим через С дополнительную часть. Так как G и G' вместе составляют фигуру F и не имеют общих внутренних точек, то пл. / = п л . G-f-пл. G', а так как пл. G'^sO, то пл. F^snn. G. 1.2. Квадрируемые фигуры. Методы, позволяющие вычислять площади на основании свойств (а) — (6), в своих наиболее общих чертах также были созданы еще в древности. Сначала математики научились вычислять площади многоуголь­ ных фигур. Было установлено, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту и что для вычисления площади произвольной многоугольной фигуры достаточно разбить ее на треугольники без общих внутренних точек и сложить пло­ щади этих треугольников. Перейдя к фигурам, ограниченным кривыми линиями, математики стали приближать их многоугольными фигурами. Пусть F—фигура, площадь которой должна быть вычислена. Рассмотрим, с одной стороны, всевозможные многоугольные фигуры, содержащиеся в F, с другой стороны, — всевозможные многоугольные фигуры, содер­ жащие F. Первые называются входящими в F, вторые — объемлю­ щими F. В силу монотонности площади, для любой входящей многоугольной фигуры Р и любой объемлющей многоугольной фи­ гуры Q справедливо неравенство 7 1 г пл. P