* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВВЕДЕНИЕ: ЧТО ТАКОЕ ПЛОЩАДЬ? 7 альном добавлении, помещенном после статьи. В самой статье единичный отрезок считается фиксированным раз и навсегда. Требования к общей подготовке читателя почти всюду ограни­ чиваются самыми начальными сведениями о множествах, функциях и последовательностях (свойства сложения, вычитания и пересече­ ния множеств; общее понятие числовой функции; границы числовых множеств; предел последовательности). Немногие менее элемен­ тарные пункты отмечены звездочкой и могут быть пропущены без ущерба для понимания остального. Наименее элементарной проблемой теории площадей и объемов является их вычисление: сколько-нибудь полное рассмотрение этой проблемы требует интегрального исчисления, притом привлечения не только простых, но и кратных интегралов, включая переход к криволинейным координатам. Понятно, что такие сложные вещи не могут излагаться в элементарной статье. Приходится ограни­ читься несколькими формулами, выражающими площади и объемы через простые интегралы. § 1. Введение: что такое плошадь? 1.1. Основные свойства площади. Площадь принадлежит к числу наиболее широко известных математических понятий — тех, с ко­ торыми все мы встречаемся в практической жизни. Практическое знакомство с площадями делает это понятие чрезвычайно надежным в наших глазах. Площадь представляется нам физической реаль­ ностью, такой же несомненной, как окружающие нас предметы. Значительно менее известен тот факт, что площадь —очень не простое понятие. Точное определение площади представляет зна­ чительные логические трудности и почти неизвестно за пределами узкого круга профессиональных математиков. Многим самый вопрос покажется искусственным: они скажут, что площадь — первичное понятие, не подлежащее определению. Взгляд на площадь как на первичное понятие сложился еще в древности. До сравнительно недавнего времени этого взгляда придерживались и математики. На протяжении многих столетий они видели свою задачу в вычислении площадей; им не приходило в голову, что площадь нуждается в специальном определении. Между тем их вычисления должны были на чем-то основы­ ваться—если не на прямом определении, то на чем-то, его заме­ няющем, на каких-то принципах, которые позволяли им всякий раз получать в качестве площади определенное число. И такие принципы, конечно, существовали, хотя обычно не формулировались. Это — основные свойства площади. Они широко известны, потому что служат основой всех применений —теории площадей. Мы вы­ скажем их в следующей форме, наиболее удобной для наших целей.