* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

552 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТРИГОНОМЕТРИИ треугольнике можно заменить тригонометрическими соотношениями в пло­ ском треугольнике. И в самом деле при малых значениях переменного х можно пренебречь высшими степенями этого переменного и, следовательно, можно заменить s i n x = - x — — *• a c o s x = l — — 4—тт—... н а 3 Я* 1 1л и 5! 2 4! на 1—2" Даже на 1. Но при такой замене, как легко проверить, сферические теоремы косинусов и синусов переходят в одноименные пло­ ские теоремы, первые шесть формул пяти элементов переходят в теоремы проекций плоской тригонометрии, а вторые шесть формул пяти элементов н двойственная теорема косинусов, ие имеющие аналогов в плоской три­ гонометрии, переходят в соотношение Л + В + С = л . Основные теоремы сферической тригонометрии были открыты учеными средневекового Востока. Соотношения, выражаемые теоре­ мой косинусов, были установлены сирийским математиком и астро­ номом IX века а л - Б а т т а н и , выходцем иэ семьи звездопоклонни­ ков—сабиев, у которых в течение многих веков сохранялись вавилонские астрономические традиции. Сферическая теорема сину­ сов была открыта почти одновременно среднеазиатскими математи­ ками и астрономами X века И б н И р а к о м из Хорезма, А б у - л В а ф о й из Хорасана и а л - Х о д ж а н д и из Ходжента. Соотношения, выражаемые двойственной теоремой косинусов, были установлены (с помощью полярного треугольника) в Х111 веке работавшим в Азербайджане Н а с и р - а д - д и н о м а т - Т у с и, давшим первое полное изложение всей системы сферической тригонометрии. 4.5. Формулы котангенсов. Деля почленно формулу пяти эле­ ментов (23) на вытекающее иэ формулы (22) равенство sin у sin В = sin у sin А, мы получим равенство * Ь , ctg— sin с ctgfl= ' с cos — cos A л ' sin A * т e . . ctg В sin A = ctg — sin - — c o s —cos A •ли sin у ctg у—sin A ctg B= cos у cos A. (38) Мы получили одну из формул котангенсов, которую обычно формулируют в виде: произведение синуса одной стороны сфери­ ческого треугольника на котангенс другой без произведения синуса угла, лежащего против третьей стороны, на котангенс угла, лежащего против второй стороны, равно произведению косинуса первой стороны на косинус угла, лежащего против третьей стороны.