* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

526 основный ПОНИ ГНИ СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ I I ТРИГОНОМЕТРИИ Таким образом, отлпи! е межл> двумя указанными подходами к пла­ ниметрии заключается в том, что под движениями в одном случае пони­ маются «механические» иеремещелия фнгур в самой рассматриваемой плос­ кости, а в другом случае—«механические» перемещения, совершаемые в объемлющем трехмерном прострлнстве. Следует заметить, что два указан­ ных подхода к планиметрии мриноднт, строго говор», к двум р d J л и ч н ы м геометрическим системам. Имен­ но в геометрии, основанной только на движениях 1- о рода, существуют понятия, не имеющие смысла в обычной планиметрии; сюда относятся: направление обхода фигуры, ориентированная площадь фигуры (площадь, взятая с тем или иным знаком в зависи­ мости от направления о б х о д а ) ) , косое произведение двух векторов ) и др. Однако в школьном преподавании эти вопросы обычно оставляются в стороне, в связи с чем становится наиболее естественным рассмотрение в с е х движении, t не только движений 1-го рода. В случае геометрии на сфере различие между указанными двумя подходами кажется на первый взг ляд еще более принципиальным, чем в случае пла­ ниметрии. Ведь никаким «механическим» перемещением (в трехмерном пространстве) одного из треугольников, изображенных на рис. 12, б, его нельзя наложить на второй из этих треугольников (если «вынуть» треуголь­ ник ABC из сферы н приложить его к треугольни­ ку А'В'С' «другой стороной», то треугольники не Рис. 1о. с о в м е с т я т с я - м е ш а е т искривленность сферы, рис. 15). Однако это соображение не является принципиальным: если сферу считать расположенной в ч е т ы р е х м е р н о м простран­ с т в е ) , то симметричные фигуры (например, треугольники, изображенные иа рис 12, о) м о г у т б ы т ь совмещены при помощи «механического» пере­ мещения в этом четырехмерном пространстве (т. е. при помощи «движения 1-го рода» в четырехмерном пространстве). г 1 2 3 1.5. Принцип двойственности. Мы видели, что л ю б о е д в и ж е н и е сферы п е р е в о д и т пару диаметрально противоположных точек снова н пару диаметрально противоположных т о ч е к . Таким о б р а з о м , пара диаметрально противоположных точек является в сферической геометрии самостоятельным геометрическим объектом. Отметим о д н о з а м е ч а т е л ь н о е свойство этих пар точек: всякой теореме сфе­ рической геометрии соответствует другая теорема этой геометрии, получающаяся из первой взаимной заменой слов: «пара диаметрально противоположных точек> и «большая о к р у ж н о с т ь » , у л е ж и т на» и «про­ х о д и т ч е р е з » , соединяются» и « п е р е с е к а ю т с я на» и т. д . Например: всякие две большие окружности на сфере пересекаются в одной паре диаметрально противополож­ ных ючек. всякие две пары диаметрально точек - сферы противоположных соединяются одной большой окружностью. ') См книгу: А. М. Л о п ш н ц , Об измерении площадей ориентированных фигур. М.. 1956. ) См. статью «Векторы и их применения геометрии», стр 350. *) См статью о многомерных пространствах в кн. V ЭЭМ. 2