* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

К С Т Л Н Я Г О Е Р ЯО Р Ж О Т Й А А Е Ь А Е М Т И К У Н С Е 513 точку А в окружность 5 с центром А' и радиусом л'). Обозначим через Т параллельный перенос на вектор А'А ) и через Г—особую осевую инвер­ сию, определяемую сетью окружностей радиуса г (особую инверсию Г можно также заменить расширением на величину—г). Преобразование Т пере­ водит окружность S в окружность S' с центром А и радиусом /•; Г переводит S' в точку А; таким образом, последовательность преобразований М, Т и Г представляет собой касательное круговое преобразование (обозначим его через М,), переводящее точку А в себя. Но такое преобразование, как мы только что показали, можно заменить последовательностью (точечной) инверсии 1, осевого кругового преобразования Л (обыкновенной или особой осевой инверсии, сопровождаемой преобразованием подобия) и инверсии I . С другой стороны, М представляет собой последовательность преобразова­ ния М,, особой инверсии Г и параллельного переноса Т на вектор АА' (последовательность трех преобразований М„ Г и Т не отличается от по* следовательности пяти преобразований М, Т, Г, Г и Т; но две последо­ вательные инверсии Г взаимно уничтожаются и два параллельных пере­ носа Т н Т также взаимно уничтожаются). Таким образом, М совпадает 2 с последовательностью пяти преобразований I , Л, 1, Г и Т, что и доказы­ вает наше утверждение. 12.2. Задача Аполлония. Касательные круговые преобразования допускают многочисленные применения к доказательству геометри­ ческих теорем и к решению задач на построение. Здесь мы огра­ ничимся одним известным примером такого рода. Пусть нам требуется построить окружность S, касающуюся трех заданных окружностей S S и 5, (рис. 50, а; эта задача на построение носит название з а д а ч и А п о л л о н и я ) . Первона­ чально эта задача кажется очень сложной, поскольку совсем не видно» как перейти от имеющихся ничем не связанных друг с другом ок­ ружностей 5,, S и S к искомой окружности 5. Можно, однако, так упростить чертеж задачи, что новая задача будет уже совсем простой. Прежде всего мы с помощью какого-либо осевого кругового пре­ образования Л переведем окружность *S, в точку S,; окружности 5, и £ перейдут при этом в новые окружности S и 5 . В качестве преобразования Л можно использовать особую осевую инверсию или расширение на величину — г где г —радиус окружности 5, (см. рис. 50, б.) При этом использование осевого кругового преобразо­ вания предполагает, разумеется что окружности S S и 5, являются v t a t а t Я 1? х t9 t ) Если М переводит J4 В п р я м у ю а, то вместо М мы будем рас­ сматривать последовательность М преобразования М и какой-либо (точеч­ ной) инверсии I , переводящей а в окружность S; в свою очередь М будет получаться, если последовательно произвести преобразования М и I . (Впрочем, можно доказать, что никакое касательное круговое преобразо­ вание не переводит все точки плоскости в прямые, так что наверное най­ дется точка А, которую М переводит в окружность S ограниченного ра­ диуса.) ) См. стр. 54. г а 33 Энциклопедия, кн. 4