* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

506 ОКРУЖНОСТИ 3) преобразование переводит в точки все точки одной прямой и только эти точки. Рассмотрим теперь эти три случая последовательно. 1) Пусть осевое круговое преобразование Л не переводит в точку н и о д н у точку плоскости. Рассмотрим две произвольные точки А' и В' и две проходящие через эти точки прямые а и Ь\ отли­ чающиеся только направлением; пусть а и b суть прямые, которые Л переводит в а и Ь' В точки прямой А'В' («окружности нуле­ вого радиуса, касающиеся прямых а и b '») переходят окружности, касающиеся прямых а и Ь. Если бы прямые а и b пересекались, то в число последних окружностей входила бы также и точка М пере­ сечения прямых а и b (ср. рис. 32, б на стр. 492); поэтому в одну иэ точек прямой А В' переходила бы точка М что противоречит нашему условию. Отсюда следует, что прямые а и b противопараллельны и все касающиеся их окружности (в частности, и окружно­ с т и А я В, которые Л переводит в точки А' и В ) равны (ср. выше рис. 32, а; прямые а и b не могут быть параллельны, ибо таких прямых вообще не касается ни о д н а окружность). Итак мы видим, что в любые две точки А' и В переходят окружности одного ралиуса; следовательно, Л переводит в точки все окружности одного 9 9 9 9 У 9 9 •определенного радиуса г. Заменим теперь наше круговое преобразование особой инверсией (расширением и переориентацией) Г, переводящей в точки окруж­ ности именно этого радиуса г, сопровождаемой, быть может, еще некоторым дополнительным преобразованием Р . Это дополнительное осевое круговое преобразование переводит все точки снова в точки «(ибо уже Г переводит окружности радиуса г в точки) и, значит, является преобразованием подобия; таким образом, наше исходное преобразование Л является особой инверсией, сопровождаемой пре­ образованием подобия. 2) Докажем теперь, что осевое круговое преобразование Л , пере­ водящее в точку о д н у единственную точку А, не может сущест­ вовать. Действительно, две отличающиеся только направлением пря­ мые а и Ь проходящие через точку А, должны переходить в две прямые а и b*пересекающиеся в точке А', в которую переходит А. Рассмотрим еще некоторую, не параллельную а прямую а \ она и совпадающая с ней по положению (отличающаяся от а лишь нап­ равлением!) прямая Ь переходят в противопараллельные прямые а\ и b\ (ибо ни одна из точек прямой а не переходит в точку; ср. выше). Заметим теперь, что всегда найдутся такие две окруж­ ности М , М касающиеся соответственно а и Ь\ а, и b что одна иэ них заключается внутри другой (рис. 44, а, б). В эти две окружности переходят две точки М и М прямых а и а \ две отли­ чающиеся направлением прямые, совпадающие по положению на пло9 9 х х х х 9 и lt х х