* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОСЕВАЯ ГЕОМЕТРИЯ ОКРУЖНОСТЕЙ 505 переводят также и окружности в окружности, го являются круго­ выми преобразованиями ). Более сложным примером может служить невырожденная осевая инверсия. Нетрудно показать, что последний пример имеет общий характер, т. е. что к а ж д о е осевое круговое преобразование сводится к невырожденной инверсии; точнее, мы покажем, что каждое осевое круговое преобразование представ­ ляет собой особую или обыкновенную осевую инверсию, сопровож­ даемую еще. быть может, преобразованием подобия. Прежде всего, ясно, что осевое круговое преобразование, пере­ водящее каждую точку снова в точку, является преобразованием подобия; это утверждение лишь по форме отличается от утвержде­ ния о том, что все точечные круговые преобразования, переводящие прямые снова в прямые, исчерпываются преобразованиями подобия (см. п. 5.1), Далее заметим, что если какое-либо осевое круговое преобразование переводит какие-либо две точки А и В снова в точки А' и В'', то оно переводит все точки прямой АВ снова в точки. Действительно, при этом две проходящие через А и В (направленные) прямые а и Ь отличающиеся только направлением, переходят в (направленные) прямые а' и Ь\ проходящие через А' и В' и тоже отличающиеся только направлением, и все точки пря­ мой АВ, «касающиеся» а и b переходят в точки прямой А'В*\ «касающиеся» а' и Ь'. Поэтому, если осевое круговое преобразо­ вание переводит в точки три точки А В и С плоскости, не ле­ жащие на одной прямой, то оно переводит в точку каждую точку М плоскости (точка N пересечения прямых AM и ВС пере­ ходит в точку, ибо она лежит на прямой ВС, и точка М переходит в точку, так как она лежит на прямой AN; если АМ\\ВС, то нам придется только заменить А какой-либо другой вершиной треуголь­ ника ABC) и, значит, является преобразованием подобия. Таким образом, если осевое круговое преобразование отлично от преобра­ зования подобия (а только такие преобразования нас сейчас интере­ суют), то имеет место один из следующих трех случаев: 1) преобразование не переводит в точку ни одну точку плоскости; 2) преобразование переводит в точку одну единственную точку плоскости (ниже мы покажем, что этот случай на самом деле невоз­ можен); 1 у f у ') Д л я того чтобы рассматривать преобразование подобия как осе вое ^ надо еще условиться считать, что оно переводит определенную направлен­ ную прямую а в другую направленную прямую а' (направления а и а' могут быть выбраны произвольно) и направленную прямую b—в такую направленную прямую Ь', что «$(а, &) = <£ ( а \ Ь') -ф(а, Ь) = 0, если Ь парал­ лельна а. <$(а, & ) = я , если Ь противопараллельна а). Таким образом, од­ ному и тому же преобразованию подобия, понимаемому как точечное преобразование, могут соответствовать два различных осевых преобразова­ ния (отвечающих двум различным выборам направления оси а').