* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

504 ОКРУЖНОСТИ § 10. Осевая геометрия окружностей 10.1. Осевые круговые преобразования. В настоящем разделе точки всюду рассматривались лишь как частный случай окружно­ стей— никакого самостоятельного значения они здесь не имели. Соответственно этому мы здесь уже не будем считать точку основ­ ным геометрическим элементом и откажемся от рассмотрения т о ч е ч ­ н ы х преобразований плоскости, т. е. преобразований, переводящих каждую точку снова в точку. Роль точечных преобразований будут теперь играть преобразования множества направленных прямых линий (осей) плоскости, т. е. преобразования, переводящие каждую направ­ ленную прямую (ось) в новую направленную прямую (ось). Такие преобразования естественно называть осевыми преобразованиями Рис. 43. плоскости. Осевые преобразования, вообще говоря, уже не переводят точки снова в точки: если понимать под точкой А совокупность всех проходящих через нее прямых л, Ь с , . . . (рис. 43, а), то при­ дется принять, что осевое преобразование переводит точку А в не­ которую кривую А\ определяемую своими касательными л ' , с\ (рис. 43, б); подобно этому точечное преобразование переводит пря­ мую а, понимаемую как совокупность точек А В, С, . . . , в кри­ вую а ' , на которой лежат преобразованные точки Л ' , В\ С , Особое место среди всех осевых преобразований занимают осе­ вые круговые преобразования )—такие осевые преобразования, кото­ рые переводят каждую (направленную) окружность 5 ограниченного радиуса в новую окружность 5 ' (т. е. переводят совокупность каса­ тельных произвольной окружности S в совокупность касательных некоторой новой окружности S'). Простейшие примеры осевых кру­ говых преобразований доставляют уже преобразования подобия: поскольку эти преобразования переводят каждую прямую снова в прямую, то их можно рассматривать как осевые, а так как они у 1 ) В литературе эти преобразования чаще называются Лагерра. ] преобразованиями