* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

478 ОКРУЖНОСТИ 5.2. Круговые преобразования. Преобразования круговой плос­ кости, переводящие прямые и окружности снова в прямые и окруж­ ности (или, другими словами, переводящие в себя совокупность всех окружностей ненулевого радиуса), уже не исчерпываются одними преобразованиями подобия — пример другого рода доставляет нам инверсия. Все такие преобразования называются круговыми преобра­ зованиями ). Нетрудно видеть, что каждое круговое преобразова­ ние круговой плоскости является или преобразованием подобия или инверсией, сопровождаемой еще быть может, преобразова­ нием подобия. Действительно, если круговое преобразование остав­ ляет на месте «бесконечно удаленную точку» Q, то оно переводит прямые («окружности бесконечного радиуса» или «окружности, про­ ходящие через бесконечно удаленную точку Q») снова в прямые и окружности конечного радиуса — в окружности конечного радиуса, т. е. является преобразованием подобия. Рассмотрим теперь круговое преобразование К , которое переводит в й какую-то «конечную» (т. е. обыкновенную) точку О плоскости. Это преобразование можно заменить инверсией I с центром О, сопровождаемой еще каким-то преобразованием П. (ГГ переводит точку A в которую переводит произвольную точку А инверсия I , в точку А', в которую переводит А преобразование К ; если Л, всегда совпадает с А', то К совпадает с инверсией I и никакого дополнительного преобразования рассмат­ ривать не нужно.) Очевидно, что П есть тоже круговое преобразо­ вание: оно переводит окружность S в которую инверсия I переводит окружность 5, в окружность S', в которую 5 переводит К . С другой стороны, П переводит прямые снова в прямые (ибо и К и I пере­ водят в прямые проходящие через О окружности). Поэтому П есть, преобразование подобия, что и доказывает наше утверждение (про­ извольное круговое преобразование К совпадает с инверсией I , со­ провождаемой преобразованием подобия П). 1 % v v 5.3. Понятие о круговой геометрии. Изучение свойств геомет­ рических фигур, общих всем фигурам, получаемым друг из друга круговыми преобразованиями, составляет предмет круговой геометрии (или точечной круговой геометрии; смысл прилагательного «точеч­ ная» станет ясным из дальнейшего) ). Основную роль в этой геомет­ рии играет понятие окружности (ненулевого радиуса); прямая линия не имеет здесь самостоятельного значения, ибо круговое преобразование может переводить прямую в окружность. В этой геометрии, так же как и в обычной геометрии, положение окружности на плос­ кости не отражается на ее свойствах (ибо по-разному расположенные окружности имеют одинаковые свойства); однако здесь уже и вели­ чина радиуса также не помогает различать окружности,*ибо инверсна 1 1 ') Эти преобразования называются также преобразованиями *) Ср. «Г. П », § 6. Мебиуса.