* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

476 k =QA 'QA ность, в 2 1 i S 9 ОКРУЖНОСТИ = QA 'QA ( S , проходит через точки А и Л ) ; S —окруж­ которую переводит S инверсия с центром R и степенью А = / М - / ^ = ЯЛ -ЯЛ, ( О с н о в а проходит через точки Л и Л,); наконец, обозначим еще касатель­ ные к S в точках A Л , Л , и Л через t t t и г , а касательные к S „ S , 5, и в тех ж е точ­ ках—через ы„ ы , и и й, (рис. 21). Легко видеть, что при всех трех инверсиях окружность 4 перехо­ дит сама в себя. В силу свой­ ства Б инверсии имеем я в x s 3 Э С 4 lt 2 4 v tt t 4 2 2 л Н о равенство - $ ( / , , = (#i» * ) показывает, что окружности St и 5 „ пересекающие S в одних и тех ж е точках Л, и Л , обра­ зуют в этих точках с окружно­ стью 5 одинаковые (по величине и по направлению!) углы, откуда следует, что эти окружности р . 21. просто совпадают. Таким обра­ зом, точки Р, Q и R суть центры инверсий, переводящих S , в S , S в S, и S , в т. е. это суть центры подо­ бия этих окружностей (см. доказательство свойства А инверсии). Н о отсюда следует, что эти точки лежат на одной прямой (см. ниже стр. 489—490)'). 4 4 и с 2 2 § 5. Точечная геометрия окружностей 5.1. Круговая плоскость. Т о о б с т о я т е л ь с т в о , ч т о прямые и о к р у ж ­ ности являются единственными линиями, изучаемыми в элементарной г е о м е т р и и , з а с т а в л я е т ограничиться з д е с ь рассмотрением лишь таких преобразований плоскости, которые переводят прямые и о к р у ж н о с т и снова в прямые и о к р у ж н о с т и . О д н а к о ясно, ч т о никакое (непрерыв­ ное) преобразование плоскости, п е р е в о д я щ е е каждую е е точку А в д р у г у ю т о ч к у А\ не может перевести з а м к н у т у ю л и н и ю — о к р у ж ­ н о с т ь — в н е з а м к н у т у ю л и н и ю — п р я м у ю ; следовательно, такое преоб­ разование д о л ж н о переводить к а ж д у ю прямую в прямую и к а ж д у ю о к р у ж н о с т ь в о к р у ж н о с т ь *). Тем самым мы приходим к п р е о б р а з о - •) См. также «Г. П.», стр. 93 и след. *) Если бы такое преобразование переводило прямую s в окружность 5, то оно должно было бы перевести прямую s „ пересекающую s в точке Л, в прямую или окружность имеющую с S о д н у общую точку Л ' , т. е. касающуюся 5 в точке А'. Это, однако, невозможно, так как прямые s и s, разбивают плоскость на 4 части (такие, что никакие две точки, принадлежащие разным частям плоскости, нельзя соединить прямой или