* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

474 ОКРУЖНОСТИ (причем в центрально-подобном преобразовании точка М окружности * S отвечает точке М\ окружности 4", а в инверсии точка М отвечает точке М ) . Этим и завершается доказательство свойства А инверсии ). Б. Невырожденная инверсия сохраняет угол между окруж­ ностями. Точнее, если f , Ь — касательные к двум окружностям ненулевого радиуса S и 5 , пересекающимся в точке Д, и t' t' — касательные к окружностям ненулевого радиуса S' и S' , в которые переводит £ , и S невырожденная инверсия, проведенные в точке А\ отвечающей при инверсии точке Л, то 1 t г x 2 v ± t t 2 за*,. и) (обратите внимание на порядок касательных!). Нам опять достаточно показать, что свойством Б обладает обыкно­ венная инверсия. Из подобия треугольников ОРМ и ОМР (рис. 19, а) следует, что £ (РО, РМ) = <С (MP, § МО). Но £ ( Р О , PAf) = = ЗС(ЛЮ, г), где t — касательная к 5 в точке М (оба угла изме­ ряются половиной дуги МО); следовательно, £ ( Л Ю , /) = $:(*, С другой стороны, окружности 5 и « точках М и М, равные углы -§С (МО, ОММ (это следует из того, что О есть S и 5'; ср. ниже стр. 489). А так как, = •&.(?> М'О) (см. стр. 453), то имеем МО'). S' (рис. 19, б) образуют f) и $ ( У Й , 0 , /,) с прямой центр подобия окружностей кроме того, 3C(Af,0, t ) =• x £ ( Ж О , /) = • £ ( * ' , Ж'О). Итак, мы доказали наше утверждение для того случая, когда одна из двух рассматриваемых окружностей ненулевого радиуса —это проходящая через О прямая. Пусть теперь 5, и 6 \ — д в е произвольные окружности ненулевого радиуса, пересекающиеся в точке A; S и 5 — пересекающиеся в точке А' окружности, в которые переходят 6\ и «S при инверсии. В таком случае имеем (рис. 20) t S 2 £ (t откуда v АО) = £ И ' О , t[) 9 £ (АО, t ) = £ (/„ Л'О), % что и требовалось доказать. В частности, из свойства Б инверсии следует, что невырожденная инверсия переводит любые две касающиеся окружности в касаю­ щиеся окружности. 1 ) См. также «Г. П.», стр. 74—75.