* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

472 ОКРУЖНОСТИ близка к О, то расстояние OA* превзойдет любое наперед заданное число), то говорят также, что образ центра О инверсии удаляется в бесконечность или что инверсия переводит точку О в бесконеч­ ность; разумеется, эти выражения следует понимать лишь в том смысле, что сама точка О при инверсии не переходит никуда, а близкие к О точки переходят в далекие точки'). Заметим, что невырожденная инверсия «переставляет» между собой точки плоскости (т. е. если точка А переходит в точку А\ то точка А' переходит обратно в точку А) ). Далее, инверсия с центром О и степенью k переводит внутренность окружности 2 с центром О и радиусом \f\k\ во внешнюю область этой окруж­ ности и наоборот (аналогично тому, как симметрия относительно прямой 5 меняет местами две полуплоскости, на которые 5 делит плоскость). Что же касается самой окружности 2 , то инверсия пере­ водит ее в себя; при этом в случае положительного k все точки окружности 2 переходят в себя (аналогично тому, как при симмет­ рии относительно прямой s переходят в себя все точки этой пря­ мой), в то время как в случае отрицательного k каждая точка окружности 2 переходит в диаметрально противоположную точку. Отметим теперь два менее очевидных свойства инверсии. А. Всякая невырожденная инверсия переводит каждую окруж­ ность ненулевого радиуса снова в окружность ненулевого радиуса (т. е. каждую окружность или прямую снова в окружность или прямую). Так как совершенно очевидно, что симметрия относительно пря­ мой обладает этим свойством, то надо только доказать, что им обладает также и обыкновенная инверсия. Прежде всего совершенно ясно, что инверсия переводит каждую прямую, проходящую через центр инверсии, саму в себя. Далее, если М и М' суть точки пересечения проходящей через точку О прямой с окружностью 5, имеющей диаметр ОЯ, и прямой s, перпендикулярной ОР и пересе­ кающей ОР в некоторой точке Р (рис. 19, а ) , то из подобия пря­ моугольных треугольников ОРМ и ОМ'Р с общим острым углом О имеем ОР (Ж ОМ~ОР' ' откуда следует, что 1 ОМ-ОМ' =OP.OPl Последнее равенство показывает, что инверсия с центром О и сте­ пенью k переводит проходящую через О окружность S в прямую s, ') Относительно другого понимания этого утверждения (связанного с присоединением к плоскости одной «несобственной» точки) см. стр. 58—59. ) Другими словами, инверсия есть инволютивног преобразование (см. «Г. П.», стр. 97). г