* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

464 ОКРУЖНОСТИ т. е. для пучков прямых, и для пучков концентрических, пере­ секающихся или касающихся окружностей. Покажем, что так же будет обстоять дело и в случае пучка непересекающихся окружно­ стей. Прежде всего, ясно, что через каждую точку N линии цент­ ров z проходит окружность пучка: диаметр NN* этой окруж­ ности определяется равенством ОЛЛОЛ/' = ОР*ОР\ где О и Р, Р' — точки пересечения линии центров z с радикальной осью и с какойлибо окружностью S пучка (рис. 14,в). В частности, если точка N такова, что ON* = ОР*ОР*, то N' совпадает с N и потому S явится окружностью нулевого радиуса, т. е. точкой; таким образом, каждый пучок непересекающихся окружностей содержит две точки /V, и N (называемые предельными точками пучка), расположенные на 9 f t прямой z на одинаковом расстоянии VoP'OP' от точки О по раз­ ные стороны от нее. Далее, если точка М не принадлежит линии центров z, то радикальная ось о точки М и какой-то окружности S пучка не параллельна о и, значит, пересекает о в некоторой точке Q, имеющей равные степени относительно окружности нулевого радиуса М и окружности 5 . Построим теперь окружность S с центром на ли­ нии центров z, касающуюся прямой QM в точке М (центром такой окружности служит точка пересечения прямой z с перпендикуляром, восставленным к QM в точке М). Очевидно, что точка Q будет иметь равные степени относительно S и £ , т. е. будет принадлежать радикальной оси этих двух окружностей. Отсюда вытекает, что о — радикальная ось окружностей S и S ; следовательно, S и есть окруж­ ность пучка, проходящая через точку М. Заметим еще, что, поскольку каждая точка Q радикальной оси о собственного пучка окружностей, лежащая вне окружностей пучка (т. е. отличная от точки А в случае пучка касающихся окружно­ стей и не принадлежащая отрезку АВ в случае пучка пересекаю­ щихся окружностей; см. рис. 14, а,б), имеет одинаковую положитель­ ную степень а* относительно всех окружностей пучка, то Q яв­ ляется центром окружности 2 , перпендикулярной всем окружностям пучка (радиус этой окружности равен а). Таким образом, суще­ х 0 0 0 0 ствует бесчисленное множество окружностей, одновременно пер­ пендикулярных всем окружностям пучка. Нетрудно видеть, что все эти окружности в свою очередь будут образовывать пучок: действительно, радикальная ось двух таких окружностей совпадает с линией центров z исходного пучка, поскольку z есть множе­ ство центров окружностей, перпендикулярных этим двум (ср. вы­ ше, стр. 458). Сама прямая z тоже входит в этот новый пучок, поскольку это есть окружность бесконечного радиуса, перпендику­ лярная всем окружностям нашего пучка. Два пучка окружностей, обладающих тем свойством, что каждая из окружностей первого пучка перпендикулярна всем окружностям второго пучка и, наобо-