* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РАДИКАЛЬНАЯ ОСЬ И РАДИКАЛЬНЫЙ ЦЕНТР 457 (см. рис. 8) и соотношения (*). Из этого и следует, что радикаль­ ная ось (двух неконцентрических окружностей) представляет собой прямую, перпендикулярную к линии центров 0 , 0 . 2 Можно предложить также следующий «векторный» вывод теоремы о радикальной оси. Соотношение (*) можно переписать в виде х —г]={х—1) где x=OtM; 1 2 2 — — 0 О. А г Раскрывая скобки в этом соотношении, получаем озна­ 2 » В силу определения скалярного произведения') это соотношение чает что пр, * = откуда и вытекает наше утверждение. 21 Различные случаи расположения радикальной оси двух окружно­ стей изображены на рис. 8, а— г; анализ этих случаев легко провести, основываясь на формуле (*). Здесь мы отметим только, что если окружности £ , и S пересекаются, то точки их пересечения, очевидно, принадлежат радикальной оси (ибо эти точки имеют относительно обеих окружностей одинаковую сте­ пень, равную нулю) и, следова­ тельно, радикальная ось пересекаю­ щихся окружностей совпадает с пря­ мой, на которой расположена их об­ щая хорда (рис. 8, б); если окруж­ ности S и 5 касаются, то по ана­ логичной причине радикальная ось проходит через точку касания и, следовательно, совпадает с общей касательной (рис. 8, в). Мы знаем, что если точка М Рис. 9. лежит вне окружности 5, то ее степень относительно 5 равна квадрату касательной, проведенной из М к 5. Отсюда вытекает, что радикальная ось двух непересека­ ющихся окружностей и часть радикальной оси пересекающихся окружностей, внешняя по отношению к этим окружностям, совпадает с множеством всех таких точек М. что касательные, проведенные из М к обеим окружностям, равны (рис. 9). Это утверждение можно сформулировать еще и по-другому. Пусть окруж­ ность 2 имеет центр в точке М радикальной оси двух окружностей. t t в *) См. стр. 328.