* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РАДИКАЛЬНАЯ ОСЬ И РАДИКАЛЬНЫЙ ЦЕНТР 455 ч прямая, проходящая через не совпадающую с S точку М будет только одна (и для этой прямой обе точки А и В придется отождествить с точкой £), так что можно считать, что и в этом предельном слу­ чае наша теорема сохраняет силу. Заметим еще, что теорема сохраняет силу и в том случае, если говорить о произведении н а п р а в л е н н ы х отрезков МА-МВ (см. § 1): если точка М лежит вне 5, то произведение МА * MB всегда будет положительным, а в противном случае — всегда отрицательным. Таким образом, и абсолютная величина, и знак произведения МА - MB зави­ сят лишь от положения точки М и окружности (конечного радиуса) S, но не от выбора проходящей через М прямой. Это произведение назы­ вается степенью точки М относительно окружности S. Из рис. 7, а—г нетрудно вывести, что степень точки М относи¬ тельно окружности S конечного радиуса г во всех случаях равна d* — r* где d —расстояние ОМ от точки М до центра О окруж­ ности. Для того чтобы это доказать, достаточно принять за пря­ мую МАВ проходящую через центр окружности S прямую МА В . 2.2. Радикальная ось двух окружностей. С введением понятия степени точки относительно окружности возникает вопрос об отыска­ нии целого ряда множеств точек, например множества всех точек, имеющих относительно данной окружности постоянную степень (это будет окружность, концентрическая с данной). Из таких множеств точек особую роль в геометрии играет множество всех точек, имеющих равные степени относительно двух окружностей S и S . Это множество точек называется радикальной осью окружностей 5, и S . Докажем, что радикальной осью двух неконцентрических окруж­ ностей S и S конечного радиуса является прямая линия о, перпендикулярная линии центров этих окружностей; радикальной оси двух концентрических {не совпадающих) окружностей вовсе не существует. Действительно, если точка М принадлежит радикальной оси двух окружностей и с центрами О и О и радиусами г и г (рис. 8), то в силу сказанного выше должно быть t е п x 2 t t t х г х % О М*-г]=О М -г1 х х х г (•) % Прежде всего, ясно, что это равенство невозможно, если т фг и точки О и 0 совпадают,—отсюда вытекает наше утверждение касающееся концентрических окружностей. Предположим теперь, что точки О, и О не совпадают; пусть, например, О О = 1 Ф 0. Покажем, что на прямой О О имеется ровно одна точка Р, принадлежащая радикальной оси. В самом деле, пусть Р—произвольная точка прямой О О и х — ее расстояние от O которое мы будем считать положительным, если Р и О х 2 г х г х г х г v