* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРАВИЛЬНЫЕ многоугольники 1 И МНОГОГРАННИКИ 433 откуда Я= 1 1 2 в) п = 8. Уравнение (21) дает — + — = 2-+~д~' 1 = _* 4 n 1 а потому л < 4 , т. е. л = 3, /? = 24. Соответствующий 2 2 многогранник изображен на рис. 54, д. V 2 <л 1 Л 1 . 1 1 , 2 D 20л 8 г) л , - 1 0 . Имеем: _ + _ = , _ + — , откуда fi^—i-. т. е. снова л = 3. Соответствующий многогранник изображен на рис. 54, е. 2) s = s = s = \. Из таких же геометрических соображений, какие были приведены в случае 1), вытекает, что теперь в с е числа n л , л , должны быть четными. Уравнение (20) принимает в нашем случае вид l 1 t v 2 i+i+hi+wТак как в силу этого соотношения — | fij л 2 1— > fig £ <> то хотя бы 22 одно из слагаемых в левой части, пусть, например, первое, должно быть больше i - : 3 = -g-. Следовательно, п < 6, т. е. л , = 4. Теперь х уравнение (22) можно переписать в виде к+{=т+§Как и выше, отсюда 2 2 i i вытекает, что, например, — * т. е. 2 1 23 л < 8. Следовательно, л = 6 (потому что должно быть л ф л ) . Теперь уравнение (23) сводится к уравнению п 9 12^ Я' из которого следует, что л , < 12. Следовательно, имеются только две возможности: л , = 8 (рис. 54, ж) и л , = 10 (рис. 54, з). Случай 5 = 3 полностью исчерпан. I I . 5 = 4. Этот случай также распадается на несколько. 1) В каждой вершине сходятся три грани одного типа и одна грань другого: s = 3, s = 1. Уравнение (20) принимает в этом случае вид x 2 - + - = 1+4. и из него, так как л ^ 3, вытекает, что л , ^ 4. 2 (24) 1 2 2 При л , = 3 уравнение сводится к уравнению — которое имеет бесконечно много целых решений: л = л , В = 2л. Мы полу­ чаем еще одну бесконечную серию топологически полуправильных многогранников, называемых антипризмами (рис. 54, и). При л = 3 антиприэма превращается в топологически правильный многогранник — октаэдр. 28 Энциклопедия, кн. 4