* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

432 МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ Из уравнения (21) вытекает, что 2 . 1 1 п п. а потому — > 4 ~ — 4 - = 4". т. е. Так как л , 5*3, то — х п <\2. Далее, из геометрических соображений легко усмотреть, что число п должно быть четным. В самом деле, пусть А А .. ,А _ — какая-нибудь л^угольная грань (рис. 53). К вершине А должна примыкать еще одна л^угольная грань. Пусть, например, к ребру АА примыкает л,-угольная грань. Тогда в вершине А к ребру А А должна примыкать л -угольная грань и т. д. Продолжая таким же образом, мы должны, дойдя до вершины А , получить л -угольную гра н ь при ребре А А ; но это возможно, очевидно, только если число сторон грани А А . .А чет­ ное. Итак, п может иметь лишь зна­ чения 4, 6, 8, 10. Рассмотрим каждый из этих случаев. а) л = 4. Уравнение (21) прини­ мает в этом случае вид В = 2 л и определяет целое положительное значение В при л ю б о м целом положительном п = л. Из равенства (18) находим: Г, = л , Г = 2. Таким образом, мы пришли К многогранРис. 53. нику с л четырехугольными и двумя л-угольными гранями и с 2л верши­ нами, в каждой из которых сходятся две четырехугольные и одна л-угольная грань. Этот многогранник изоморфен п-угольной призме (рис. 54, а). Итак, мы нашли целую бесконечную серию топологически полуправильных многогранников; из этой серии следует только исклю­ чить многогранник, отвечающий значению л = 4, так как он будет топологически правильным. х Х Ш п х х Х 2 % % г 2 п в п х х г а п% х а 2 г а 1 1 2 1 2 б) л , - = 6 . Уравнение (21) принимает вид 12л 6 + — = —+ в от- куда Д = _ * . Следовательно, в этом случае обязательно л < 6 . При л = 3 имеем 5 = 12. Мы приходим к многограннику с 12 вершинами, в каждой и» которых сходятся две шестиугольные и одна треугольная грань (рис. 54, б). Значению л = 4 отвечает многогранник, изображенный на рис. 54, в, а значению л = 5 — многогранник, изображенный на рис. 54, г. 2 2 2