* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

430 МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ Для перечисления всех типов топологически равноугольных полупрлвильных многогранников мы будем искать все возможные типы звезд их вершин. Для каждого найденного типа звезды можно (и притом однозначно, за исключением одного-единственного случая) составить схему соответствующего многогранника—так же, как это было сделано в п. 4.1 на примере октаэдра. Отсюда в силу теоремы Штейница будет вытекать существование требуемого многогранника и его единственность с точностью до изоморфизма. Лишь одному типу звезды, который будет указан ниже, отвечают две различные схемы, а поэтому и два неизоморфных между собой многогранника') Мы не будем в каждом случае приводить рассуждений, связанных с построением схемы многогранника, имеющего известный тип звезды любой его вершины; читатель при желании сможет выполнить это самостоятельно, руководствуясь в качестве образца построением схемы октаэдра, приведенным в п. 4 . 1 . Введем нужные обозначения Пусть снова В, Г и Р—число вер­ шин, граней и ребер многогранника, Г — число ^-угольных граней, Г —число ^-угольных граней и т. д . Пусть, далее, в каждой вер­ шине многогранника сходятся 5 граней, в том числе s л^угольных граней, s ^-угольных и т. д. Покажем прежде всего, что в каждой вершине многогранника не может сходиться слишком много граней, т. е. оценим число s сверху. Так как в каждой вершине сходятся s ребер, то общее число ребер, подсчитанное по всем вершинам многогранника, будет sB; так как при этом каждое ребро считается дважды (ибо оно соеди­ няет две вершины), то sB = 2P. (16) г г x t Каждая грань многогранника имеет не менее трех ребер; так как каждое ребро принадлежит двум граням, то ЗГ=^2Р, или в силу (16), ЗГ<*А (17) Из теоремы Эйлера вытекает (так как мы рассматриваем многогранники нулевого рода), что В+Г>Р. Пользуясь соотношениями (16) и (17), получим В+±В^В+Г>Р=\ В, лишь ') Интересно отметить, что хотя теория полу правильных многогранников насчитывает более двух тысяч лет, это нарушение единственности было заме­ чено лишь недавно.