* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РАЗВЕРТКА МНОГОГРАННИКА. ТЕОРЕМА КОШИ 415 увеличиваются, а знаком гмину с* — вершины тех углов, которые при этой деформации уменьшаются (вершины тех углов, которые не изменяют своей величины, мы оставляем неотмеченными). Тогда при последовательном обходе вершин данного многоуголь­ ника мы будем иметь не менее четырех перемен знаков (неотмечен­ ные вершины при подсчете перемен знаков не учитываются). Д о к а з а т е л ь с т в о . Начав обход вершин многоугольника с какой-нибудь отмеченной вершины, мы должны, дойдя снова до этой вершины, вернуться к тому же знаку, с которого начали; следова­ тельно, число перемен знаков должно быть ч е т н ы м . Оно не может быть равно нулю, так как в этом случае все отмеченные вершины имели бы один и тот же знак, например « + и по лемме 1 одна из сторон первого многоугольника должна была бы увеличиться, что противоречит условию теоремы. Предположим, что мы имеем всего две перемены знаков. Это означает, что при обходе вершин многоугольника W некотором участке, скажем, от вершины А до вершины А все отмеченные вершины будут иметь знак «-[-», а далее—от вершины A до вершины А — знак «.—» (рис. 35). Выберем произвольную точку С на сто­ роне А А и произвольную точку D на стороне A A + . Тогда в силу леммы 1, примененной к ломаной СА . . . Afft отрезок CD должен при нашей деформации увеличиться, а в силу той же леммы 1, при­ мененной к ломаной DA ... А С —уменьшиться. Полученное противоречие и показывает, что число перемен зна­ ков не может равняться 2. Следовательно, это число не менее 4, что и требовалось доказать. З а м е ч а н и е . В леммах 1 и 2 мы рассматривали для простоты лишь п л о с к и е многоугольники. Однако эти леммы вместе с их до­ казательствами (из которых первое требует лишь несущественных изме­ нений ')) остаются справедливыми и для сферических многоугольни­ ков (т. е. многоугольников на сфере, образованных дугами больших окружностей). Именно к таким многоугольникам нам придется при­ менять эти леммы. Л е м м а 3. Пусть выпуклый многогранный угол деформируется в выпуклый же многогранный угол так, что его плоские углы при этом не изменяются, а из двугранных углов хотя бы один н а х к1 k+X п п г h k t Х t k+x п % ') Именно, большой круг р (вместо прямой р) должен быть выбран так, чтобы он пересекал большой круг A A в точках О, н 0 , лежащих в н е дуги А А . Проектирование на р следует осуществлять с помощью окруж­ ностей, лежащих в плоскостях, перпендикулярных диаметру 0 0 сферы. t n г х п Х Л