* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РАЗВЕРТКА МНОГОГРАННИКА. ТЕОРЕМА КОШИ 411 Ясно, что имея многогранник, мы всегда можем построить его развертку. Гораздо менее ясно, можно ли, наоборот, задав заранее набор многоугольников и схему склеивания их сторон и вершин, быть уверенным в том, что тем самым определен некоторый много­ гранник— и если это так, то с к о л ь к о различных многогранников мы можем таким образом получить. Иными словами, возникает вопрос о существовании и единственности многогранника с заранее зада ной разверткой. Мы рассмотрим этот вопрос лишь в отношении выпуклых многогранников. Заданная совокупность плоских многоугольников (вместе с задан­ ной схемой склеивания их сторон и вершин) определяет комбинатор­ ный тип многогранника, а также форму и размеры его граней. Комби­ наторный тип согласно теореме Штейница, всегда может быть реализован некоторым выпуклым много* гранником, если только вы­ полняются следующие усло­ вия: 1) должны выполняться все три требования, фигури­ рующие в определении многогранника (см. § 1); 2) число вершин, гра/ ней и ребер развертки') должно удовлетворять тео­ реме Эйлера: В+Г—Р=2. Кроме того, для су­ ществования выпуклого мно­ гогранника с данной раз­ верткой необходимо еще выр 31 полнение следующих метри­ ческих условий: 3) склеиваемые стороны многоугольников должны иметь одинако­ вую длину; 4) сумма плоских углов при каждой из вершин развертки должна быть меньше 360°. Условия 1) — 4), н е о б х о д и м о с т ь которых очевидна, не явля­ ются еще д о с т а т о ч н ы м и для существования искомого многогран­ ника. Так, например, совокупность многоугольников, изображенная на рис. 3 1 , хотя удовлетворяет всем этим условиям, все же не и с ) При этом, разумеется, стороны (и вершины) многоугольников, подле­ жащие склейке, должны считаться одним ребром (одной вершиной) раз* вертки. f