* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОМБИНАТОРНЫЙ (ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ) тип МНОГОГРАННИКА 409 Двойственные друг другу абстрактные многогранники обладают сходными комбинаторными свойствами, но только свойства в е р ш и н одного многогранника будут свойствами г р а н е й другого. Другими словами, из всякой теоремы, выражающей комбинаторное свойство некоторого многогранника М, можно получить другую теорему, относящуюся к многограннику, двойственному Ж, заменив всюду в формулировке первой теоремы слово «грань» словом «вершина» и наоборот. Эта новая теорема называется двойственной первой; она будет верна или неверна одновременно с первой. В частности, если какая-нибудь теорема выражает общие свойства многогранников, т. е. относится к п р о и з в о л ь н о м у многограннику, то и двой­ ственная ей теорема будет относиться к произвольному многограннику. aj б; Рис. 29. Примерами двойственных теорем могут служить установленные выше (см. стр. 402—403) свойства 1°—4° абстрактных многогранников: свойство 2° двойственно свойству 1°, а свойство 4°—свойству 3 . Отсюда ясно, между прочим, каким образом можно получить опущен­ ные доказательства свойств 2° и 4°: чтобы доказать, например, свой­ ство 2°, достаточно провести рассуждение, двойственное доказатель­ ству свойства 1°, т. е. заменить всюду в этом доказательстве слово «грань» словом «вершина» и наоборот. Рекомендуем читателю самостоятельно выполнить это полезное упражнение. Заметим еще, что теорема Эйлера, доказанная выше, является примером пред­ ложения, которое двойственно самому себе (для двойственного многогранника числа / \ Д Р заменяются на Д Г, Р, а алгебраическая сумма Г-\-В—Р не меняется). В частности, двойственным для много­ гранника нулевого рода будет снова некоторый многогранник нулевого рода. Отмеченное выше положение, связывающее между собой различ ные комбинаторные теоремы, может быть названо принципом двой­ ственности (для многогранников). Следует отметить, что этот принцип е