* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОМБИНАТОРНЫЙ (ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ) ТИП МНОГОГРАННИКА 407 положение элемента a , мы будем в случае, когда он не инцидентен ии одному из предшествующих элементов последовательности (4), считать это новое положение совпадающим со старым; если а инцидентен одному или двум предшествующим элементам, например n _ и а _,, мы выберем новое положение a близким к старому и инцидентным уже определенным ранее новым положениям элементов Q-k-\ и а _ \ наконец, если элемент инциден­ тен трем предшествующим элементам, его новое положение однозначно определится новыми положениями этих трех элементов (плоскость грани определяется положениями трех вершин этой грани, вершина определяется положениями трех примыкающих к ней граней). В результате указанного смещения граней и вершин многогранника М, мы получим'новый многогранник М, являющийся выпуклым (в силу выбранного направления вращения грани а) и изоморфным многограннику М, (так как взаимно инцидентным вершинам и граням одного из этих многогранников соответствуют взаимно инцидентные вершины и грани второго). Таким образом, многогранник М и представляет собой реализацию абстрактного многогранника М» существование которой утверждает теоре­ ма Штейница. ft к k 2 д ft к г Из теоремы Штейница вытекает также С л е д с т в и е . Всякий многогранник нулевого рода изоморфен некоторому выпуклому многограннику. 2.4. Двойственность. С понятием абстрактного многогранника и теоремой Штейница связан еще один интересный геометрический факт. Возвращаюсь к определению абстрактного многогранника, легко заметить, что описываемые этим определением свойства граней в точности таковы же, как и свойства вершин, т. е. это определение не изменится, если всюду в нем слово «грань» заменить словом «вершина» и наоборот; условия I—IV при этом сохранят свое содер­ жание, условие Va превратится в условие V6 и наоборот. Это означает, что, имея какой-нибудь абстрактный многогранник М и называя его грани «вершинами», ребра — по-прежнему «ребрами», а вершины — «гранями», мы получим совокупность «вершин», «ребер» и «граней», снова удовлетворяющую всем требованиям определения абстрактного многогранника, т. е. некоторый новый абстрактный многогранник М . Два абстрактных многогранника М и М , , между элементами ко­ торых можно установить взаимно однозначное соответствие так, чтобы вершинам, ребрам и граням одного отвечали соответственно грани, ребра и вершины второго и чтобы при этом инцидентным парам элементов одного многогранника отвечали инцидентные пары элементов второго, называются двойственными друг другу. Это определение весьма сходно с определением изоморфизма многогран­ ников; разница состоит лишь в том, что вершинам одного многогран­ ника в случае двойственности должны отвечать не вершины, а грани второго (и наоборот). Как мы видели, для каждого абстрактного многогранника существует двойственный ему абстрактный мно­ гогранник. х