* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

406 МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ Чтобы завершить доказательство теоремы Штейница в общем случае, мы уточним заключительный этап проведенного выше рассуждения: именно, мы покажем, что всегда можно, не нарушая изоморфизма многогранников М и M повернуть интересующую нас грань а, если при этом смещать одновременно и плоскости остальных граней. Возможность согласовать м е ж д у с о б о й смещения всех граней (а следовательно, и вершин) многогран­ ника М основывается на следующем вспомогательном предложении. Рассмотрим совершенно произвольную совокупность N граней и вершин данного абстрактного многогранника; будем всякую такую совокупность называть для краткости просто набором. Назовем теперь порядком произ­ вольной грани (или першины), входящей в набор N, число вершин (соответственно граней), принадлежащих набору N и инцидентных этой грани (вершине). Д л я многогранников с эйлеровой характеристикой, равной 2, имеет место следующая Л е м м а 2. Во всяком наборе* состоящем более чем из одного элемента, существует по крайней мере два элемента (т. е. две грани, или две вершины, или одна грань и одна вершина), порядки которых не превышают 3. Возвращаясь к доказательству теоремы Штейница в общем случае, мы имеем многогранник M изоморфный данному абстрактному многограннику М, но не являющийся выпуклым из-за того, что две его грани а и р лежат в одной плоскости. Пусть т есть общее число вершин и граней многогранника А1,: m = B - f Г Рассмотрим набор Л/ , состоящий из всех граней и вершин этого многогранника; в силу доказанной леммы в этом наборе содержится не менее двух элементов порядка ^ 3 . Обозначим один из таких элементов через а , причем выберем его отличным от грани а (если эта грань имеет порядок 3). Затем рассмотрим новый набор N состоящий из всех граней и вершин многогранника М,, за исключением грани или вершины а. В силу той же леммы и в этом наборе имеются хотя бы дна элемента порядка ^ 3 ; обозначим один из них (отличный от грани а) через а _. После этого рассмотрим набор /V,, получаемый из Л/, исключением грани или вершины а _ и обозначим один из его элементов порядка ^ 3 (от­ личный от грани а) через а _ . Продолжая действовать таким же образом, мы придем в конце концов к набору N _ , состоящему из одной грани а; обозначим эту грань через а,. В результате все грани и вершины много­ гранника М окажутся расположенными в последовательность l f у v т v т т х т и / л 2 т х х а^а„ а , а,,..., а _ 2 я 1 Р а т (4) так, что каждый элемент этой последовательности будет инцидентен не более чем с тремя из предшествующих элементов. Повернем теперь плоскость грани а = а, вокруг ребра АВ (общего ребра граней а и Р) в том направлении, в котором расположены от нее смежные с ней грани многогранника М,, на достаточно малый угол, после чего перейдем к элементу а последовательности (4). Если этот элемент инцидентен а,, т. е. есть одна из вершин грани а, то примем за новое положение этой вершины какую-нибудь точку, принадлежащую новому положению плоскости а и достаточно близкую к старому положению вер­ шины а (например, точку, н а и б о л е е близкую к старому положению а,); если же элемент а, не инцидентен а,, будем считать его новое положение совпадающим со старым. Аналогичным образом определим новое положение элемента а , затем—элемента а и т. д. Каждый р а з , определяя иозое 2 г а д