* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОМБИНАТОРНЫЙ (ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ) ТИП МНОГОГРАННИКА 405 грани а и р этого многогранника так, чтобы в результате получился снова некоторый абстрактный многогранник Af . Пусть А и В—общие вершины граней а и р , а у—новая грань абстрактного многогранника М . Этот абстрактный многогранник имеет у ж е п граней; следовательно, по пред­ положению индукции, существует пространственный выпуклый многогран­ ник М (рис. 25), изоморфный М . Л^стъ у— грань многогранника М отвечающая абстрактной грани у, а А н В — вершины грани у , отве­ чающие абстрактным вершинам А и В грани у (если грань у не имеет, например, вершины Л, т. е. если эта вершина сказалась исключенной при объединении враней а и р , то в качестве А можно выбрать произволь­ ную точку соответствующей стороны многоугольника у). Отрезок АВ делит выпуклый многоугольник у Д многоугольника а и р , отвечающих абстрактным граням а и р . Рассматривая эти многоугольники а и р как новые грани (взамен одной грани у), мы получим из многогранника М 0 0 0 0 09 н а в а 0 Рис. 25. Рис. 26. новый пространственный многогранник Af„ который, очевидно, будет изо­ морфен исходному абстрактному многограннику М. Однако многогранник М не является выпуклым, так как две его грани а и р лежат в одной плоскости. Деформируем теперь многогранники М так, чтобы превратить его в выпуклый. Чтобы уяснить себе, как это делается, рассмотрим сначала простейший случай: предположим, что грань а есть треугольник АЬС и что к его вершине С, кроме ребер АС и ВС, примыкает еще только одно ребро C D (именно этот случай изображен на рис. 26). Повернем плоскость грани а вокруг прямой ИВ так, чтобы ее новое положение пересекало отрезок &D в его внутренней точке, и примем эту точку пересече­ ния за новое положение вершины С. В результате мы получим в ы п у к ­ лый многогранник М (рис. 26), изоморфный многограннику Af,, а значит и абстрактному многограннику М. Этот многогранник М и представляет собой искомую реализацию абстрактного многогранника Af. Последнее наше рассуждение существенно опирается на то, что вершина С принадлежит, кроме грани а, еще только д в у м граням. Если бы таких граней было хотя бы три, то их плоскости однозначно определяли бы положение точки С, и никакое вращение грани а вокруг ребра АВ не было бы возможно (при сохранении неподвижными плоскостей всех остальных граней) без нарушения изоморфизма с многогранником М . х х &