* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

404 МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ Легко видеть, что при объединении двух граней абстрактного много­ гранника сохраняются все условия, Рходящие о определение абстрактного многогранника, за исключением услгви i IV, которое может и нарушиться. Так, например, если в пирамиде SABCDE (рассматриваемой как абстракт­ ный многогранник) объединить основание AICDE с боковой гранью SAB (рис. 24), то грань SCD и новая ( о б ъ е д и н е н и е ) грань SCDE будут и verb общие вершины S и D, но не будут, ропр 'ки условию IV, иметь общего ребра, соединяющего эти вершины Таким образом, совокупность вершин, ребер и гранен, получаемая в ре?ультате объединения двух каких-нибудь граней абстрактного многогранника, может уже не Сыть абстрактным многогранником. Однако имеет место следующая А Л в, б) Рис. 23. Л е м м а 1. Во веяном абстрактном многограннике, эйлерова характе­ ристика которого равна 2 (за исключением многогранника, изоморфного тетраэдру), можно найти такие све смежные грани, при объединении кото­ рых получается снова абстрактный многогранник. Отметим попутно, что объединение двух граней абстрактного много­ гранника не меняет его эйлеровой характеристики. В самом деле, эта операция, уменьшая число граней на 1, одновременно исключает одно ребро; если же при этом исключается и какая-нибудь вершина, то число ребер уменьшается еще на I . Следовательно, величина В-\-Г—Р остается во всех случаях неизменной. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы Ш т е й н и ц а проводится индукцией по числу п граней многогранника. Рассмотрим сначала абстрактный мно­ гогранник с наименьшим возможным числом граней. Если абстрактный многогранник им«ет А-угольную грань, то он должен иметь также k смежных с ней граней, т. е. всего не менее А + 1 граней. Так как во вся­ ком случае А ^ З (свойство 4° абстрактного многогранника), то всякий абстрактный многогранник имеет не менее четырех гранен. Из сказанного следует также, что многогранник с четырьмя гранями может иметь только треугольные грани. Но абстрактный многогранник с четырьмя треуголь­ ными гранями существует, очевидно, только один: он соответствует извест­ ному нам простри' ственкому многограннику—тетраэдру. Таким образом, для л = 4 теорема Штейница справедлива. Предположим, что эта теорема доказана для некоторого значения а, т е. что всякий абстрактный многогранник (с эйлеровой характеристикой, равной 2), имеющий л граней, можно реализовать в виде выпуклого мно­ гогранника. Рассмотрим произвольный абстрактный многогранник М, имеющий л-f-l граней. В силу леммы 1 можно объединить некоторые две смежные