* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА 397 к Далее, ребро 1 целиком расположено в о д н о й грани сетки С (ибо это ребро не имеет с С других общих точек, кроме концов). Обозначим эту грань через G. Ясно, что все грани сетки C кроме G, остаются неизменными при проведении ребра 1 т. е. они являются также гранями и для сетки С . Число этих граней равно Г —1, где Г —число граней сетки С . Мы покажем сейчас, что при проведении ребра 1 грань G разбивается на д в е грани, откуда будет следо­ вать, что число Г граней сетки С равно (Г —1) + 2, т. е. к+1 к kf к+1% к+1 к к к к+1 к+1 й + 1 к В самом деле, проведем дугу, пересекающую ребро и возь­ мем на ней две точки Р , Q, лежащие по разные стороны этого ребра (рис. 17; на этом рисунке грань G заштрихована). Пусть теперь R— произвольная точка грани G, не лежа­ щая на ребре / . Проведем в грани G дугу от точки R до какой-либо точки N ребра 1 и на этой дуге, не доходя до точки N, возьмем близ­ кую к ней точку N' Теперь, идя из точки 7V" вблизи ребра мы можем подойти либо к точке Р, либо к точке Q (рис.17, пунктирная линия). Итак, любая точка R грани G, не лежащая на ребре может быть соединена дугой, не пересекающей 1 , либо с Рис. 17. точкой Р , либо с Q. Поэтому G разби­ вается д у г о й н е б о л е е ч е м на д в е грани (одна, содержащая точку Р , и другая, содержащая Q). Однако не может ли получиться, что точки Р и Q также лежат в о д н о й грани (т. е. могут быть соединены дугой, не пересекающейся с сеткой C ) , так что при проведении ребра 1 из грани G мы получим только о д н у грань сетки С ? Покажем, что этого не может быть. В самом деле, если бы су­ ществовала дуга, соединяющая точки Р и Q и не пересекающаяся с сеткой С , то эта дуга вместе с дугой PQ образовала бы замкну­ тую линию, не пересекающуюся с сеткой С ( р и с . 18). Эта замкнутая линия разбивает сферу 5 на две области ), причем концы ребра 1 лежат в р а з н ы х областях, так как ребро l пересекает один раз линию Я. Но так как концы ребра принадлежат сетке C , то А + 1 к+1 к+1 ft+1 к+1 к+1 й + 1 д 1 к+1 k + l ft ') Здесь мы пользуемся т е о р е м о й Ж о р д а н а: замкнутая линия, не пересекающая саму себя и расположенная на сфере (или на плоскости), разбивает поверхность сферы (или плоскость) на две области. Доказательство теоремы Жордана для случая замкнутой л о м а н о й имеется, например, в книге А. Д. А л е к с а н д р о в а [1].