* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА 395 рые мы будем называть «гранями». Каждая грань многогранника М проектируется в некоторую «грань» на сфере S, откуда ясно, что число «граней», определяемых на сфере S сеткой «ребер» и «вер­ шин», равно числу граней многогранника М. Итак, на сфере S мы имеем В «вершин», Р «ребер» и Г «граней», и для доказательства теоремы Эйлера было бы достаточно установить, что для любой с е т к и н а с ф е р е справедливо соотношение В—Р+Г=2. Однако это соотношение справедливо н е д л я л ю б о й сетки «ребер» и «вершин», произвольно начерченной на сфере S. Для сетки же, получающейся при проектировании выпуклого многогранника, соотношение В — Р + Г = 2 всегда спра­ ведливо, так как такие сетки обладают некоторыми специальными свойствами, обеспечивающими выполнение этого соотношения. Прежде всего дадим точное опреде­ ление сетки. Дугой на сфере мы будем называть незамкнутую ломаную, состав­ ленную из дуг больших окружностей и не пересекающую саму себя (рис. 15). Сеткой на сфере мы будем называть конечную совокупность точек («вер­ шин») и дуг («ребер»), обладающую следующими свойствами а) к каждой «вершине» примыкает хотя бы одно «ребро»; б) оба конца каждого «ребра» являются «вершинами»; в) любые два «ребра» либо не имеют общих точек, либо имеют одну или две общие точки, являющиеся их общими концами. Ясно, что при проектировании вершин и ребер многогранника М из точки О на сферу 5 мы получаем на сфере S сетку. Эта сетка обладает не только свойствами а), б), в), но и многими другими; на­ пример, к каждой «вершине» примыкает не менее трех «ребер». Наиболее важным для нас свойством сетки, получающейся при проек­ тировании многогранника, является то, что эта сетка с в я з н а . Это означает, что, двигаясь по «ребрам» сетки, можно пройти от любой «вер­ шины» к любой другой «вершине». Сетка, изображенная на рис. 16, не является связной. Несвязная сетка состоит из нескольких связных кусков ( к о м п о н е н т ) ; например, сетка, изображенная на рис. 16, состоит из трех компонент. Итак, при проектировании многогран­ ника М на сферу S мы получаем на этой сфере с в я з н у ю сетку. Пусть С—произвольная сетка на сфере S. Обозначим через' В число ее «вершин», через Р—число «ребер», а через Г — число об­ ластей («граней»), на которые сетка С разбивает поверхность сферы. Число В—Р±Г называется эйлеровой характеристикой сетки С