* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

390 МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ каждую из которых в свою очередь легко разбить на треугольные пирамиды — тетраэдры (с той же вершиной О). Выберем теперь ка­ кой-нибудь один из полученных тетраэдров и будем последова­ тельно приставлять к нему остальные пока не получим исходного многогранника М. Так как при каждом шаге величина Г-\-В—Р не изменяется и так как для начального тетраэдра она равна 2, то и для многогранника М будет Г+В—Р=2. Таким образом, нами доказана следующая Т е о р е м а I (теорема Э й л е р а ) . Для всякого гогранника Г+В—Р= 2. (1) выпуклого мно­ Однако, как видно из приведенного нами доказательства теоремы Эйлера, она должна оставаться справедливой и для многих невыпук­ лых многогранников. Остановимся поэтому подробнее на вопросе о естественных гра­ ницах справедливости соотношения (1). Легко понять, что в с я к и й простой многогранник можно разбить на тетраэдры (так же, как всякий простой многоугольник можно раз­ бить на треугольники). Тем не менее соотношение (1) выполняется не для всех многогранников. Дело в том, что при составлении мно­ гогранника из тетраэдров для неизменности величины В -{-Г—Р нужно, чтобы каждый раз, когда тетраэдр приставляется одной гранью, про­ тивоположная его вершина не совпадала ни с одной из вершин уже построенной части многогранника. Однако имеются многогранники, для которых такого совпадения вершин избежать нельзя; один из таких многогранников изображен на рис. 12,а (см. также рис. 12 б, в). Для этого многогранника, как нетрудно подсчитать, будет В-\-Г—Р = = 1 2 + 1 2 — 2 4 = 0. Теперь кажется наглядно ясным, что (простой) многогранник тогда и только тогда может быть нужным нам образом составлен из тет­ раэдров, когда он не имеет сквозных «дыр», т. е. не является «коль­ цеобразным», как многогранник, изображенный на рис. 12,а, и не содержит таких «кольцеобразных» частей. Такие многогранники, не имеющие сквозных «дыр», называются многогранниками нулевого ') Разумеется, при таком последовательном «приставлении» тетраэдров надо проявлять некоторую осторожность: нужно следить, чтобы в случае, когда мы приставляем очередной тетраэдр о д н о й гранью, противополож­ ная вершина тетраэдра не принадлежала уже построенному многограннику. Нетрудно установить, что можно в такой последовательности приставлять тетраэдры, чтобы это условие каждый раз выполнялось; мы предоставляем сделать это читателю.