* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

380 ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ Заметим также, что из определения /z-кратиого произведения, ( я — 1)-кратного произведения и скалярного произведения следует, что 1а . о , а г 2 9 а ) = а,(а п а> <*• а Л (ср. выше, стр. 355). Все эти операции над векторами могут быть использованы для вывода теорем, относящихся к «-мерному евклидову пространству. Наконец, отметим еще одну аксиоматику, также тесно связанную с понятием вектора и играющую важную роль в современной математике. Аксиоматика л-мерного евклидова векторного пространства (1°—11°, 17°, 18°) получается из аксиоматики д-мер ног о векторного пространства (1° — 7°, 17°, 18°) добавлением аксиом 8°—1 1°, вводящих скалярное произведение. Если же к аксиомам векторного пространства вместо аксиом 6° —11° добавить нижеследующие аксиомы 8°а — 11°а описывающие ве к т о р н о е произведе­ ние, то мы приходим к важному понятию а л г е б р ы Л и . Таким образом, алгебрсй Ли называется множество, удовлетворяющее аксиомам 1°—7°, 17°. 18° и следующим четырем аксиомам. VI Аксиомы а л г е б р ы Ли Каждой паре векторов а. Ь множества R поставлен в соответствие вектор с = [ а , Ь], называемый косым произведением векторов а и Ь (иногда также—коммутатором этих двух векторов), причем выполнены нижесле­ дующие аксиомы 8°а—11°а (ср. аксиомы 8° а—10°а с аксиомами 8° —10° на стр. 370; новая аксиома 11°а описывает то свойство рассматриваемого здесь к о с о г о у м н о ж е н и я , которое заменяет свойство ассоциатив­ ности обычного умножения чисел)'). 8°а. [а, &] = — \ Ь а\ для любых векторов а , Ь. 9°a. [a + fc, c] = fa, c]-f \Ь. с] для любых векторов а, Ь, с. I0°a. [Яа, fc] = X [ a , Ь\ для любых векторов а, Ь и действительного числа Я. 1Га. [с, \Ь. с]]-Н&, [с, а]] + (с< [с. &]]=0 для любых треХЕекторов У а, Ь, с. Таким образом, множество всех векторов трехмерного пространства является относительно векторного умножения (§ 5) алгеброй Ли. Мы видим, что описанная в предыдущие параграфах «арифметика векторов» находится в центре многих важных идей современной матема­ тики. ЛИТЕРАТУРА [1] Я. С. Д у б н о в , Основы ректорного исчисления, ч. 1, М., Гостехиздат, 1950. Обстоятельная книга, посвященная в основном векторной алгебре и ее геометрическим и механическим приложен;.ям Книга снабжена боль шим числом задач и примеров. ') Ср. с тождеством Якоби, выполняющимся для векторного умножения векторов обычного пространства (стр. 357).