* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
378
ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
В ГЕОМЕТРИИ
евклидово векторное пространство. Моделью л-мерного евклидова векторного пространства может служить множество всех наборов (x х , . . . . х ) п действительных чисел со скалярным произведением, определенным по формуле
lt х п
(«арифметическая модель»). Добавление к аксиомам 1°—11°, 17°, 18° аксиом 14° —16° определяет n-мерное евклидово пространство {геометрическое) ). Отметим еще n-мерное аффинное пространство, определяемое аксиомами 1°—7°, 14° —18°. Геометрия этого пространства назы вается аффинной геометрией. В л-мерном евклидовом пространстве можно определить операции над векторами, аналогичные тем, которые рассматривались в этой статье. Сложение векторов, умножение вектора на число и скалярное произведение векторов существенно используются в самом опреде лении rz-мерного евклидова пространства; связанные с этими опера циями аксиомы требуют, чтобы свойства всех трех операций остава лись теми же, что и в случае плоскости или (трехмерного) пространства. Роль тройного произведения векторов в л-мерном евклидовом про странстве играет так называемое п-кратное произведение векторов. ставящее в соответствие п векторам
г
2 >
a* = i£\
Л .00 . . а = {х\ заданным своими координатами в ортонормированием базисе, ч и с л о
а
г
4°
А
= (х\
* 2
1
п
2I
Л
<1) Д<1)
X
ft
i2)
(а,, а , . . . , а„) =
8
x
П
in)
x
in)
n в кн. II
Из свойств определителей (см. указанную выше статью ЭЭМ) следует, что
(ka а ,
г
v
a)
n
= k [ a
v
а ,
г
а)
п
и что л-кратное произведение векторов меняет знак при перемене местами любых двух из них
(a
v
a
l t
а»
а)
П
=
— (а ,
г
a
v
а ,
г
а)
п
=
..>
Роль векторного произведения в л-мерном евклидовом простран стве играет так называемое (л—\)-кратное произведение векто') См. статью о многомерных пространствах в V кн. ЭЭМ.
