* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ПОНЯТИЕ
О
ВЕКТОРНЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
377
вести все аксиомы 1°—16° (если определить векторы так, как это указано в § 1). Таким образом, система аксиом геометрии, приве денная на стр. 32—40, э к в и в а л е н т н а указанной здесь системе аксиом 1°— 16
Л
7*5. Некоторые типы многомерных пространств. Отметим в за ключение, что различные видоизменения аксиоматики 1°—16° при водят к определению других «геометрий», играющих очень важную роль в современной математике и ее приложениях. Мы уже отмечали выше, что всякое множество, удовлетворяющее аксиомам 1°—7°, называется векторным пространством. Аксиоматика 1°—7° не п о л н а , т. е. существуют различные, не изоморфные между собой векторные пространства. Если к аксиомам 1°—7° добавить сформулированные ниже аксиомы 17°, 18° (представляющие собой видоизменение аксиом 12°, 13°), то мы получаем n-мерное векторное пространство. Вот эти аксиомы размерности: 17° Существуют (в множестве R) п линейно независимых век торов. 18°. Всякие я + 1 векторов из R линейно зависимы. Примером множества, удовлетворяющего аксиомам 1°—7°, 17°, 18° (т. е. примером я-мерного векторного пространства) может служить множество всех многочленов степени меньшей п с действительными коэффициентами (сложение и умножение на число понимаются в обыч ном смысле). Другим примером может служить «арифметическая» модель, в которой «векторами» считаются всевозможные наборы (#,i х . . . , х„), состоящие из п действительных чисел, а сложение векторов и умножение вектора на число определяются следующим образом: если а=(х х , х ) и b = {y , у , у ) — произ вольные два вектора, а А — число, то
г1 хл 2 п t г п
a + b = (x + y х +у , Xa = {Kx Хх„
x v г г v
х +
П
у ),
п
Хх ).
п
Система аксиом 1° — 7°, 17°, 18° полна, т. е. все л-мерные векторные пространства изоморфны между собой. В математике рассматриваются также бесконечномерные векторные пространства (в таком простран стве для любого п существуют п линейно независимых векторов). Подробнее о векторных пространствах читатель может прочитать в статье «Векторные пространства и линейные преобразования», поме щенной в кн. I I ЭЭМ. Всякое множество /?, удовлетворяющее аксиомам 1°—11°, 17°, 18°, называется n-мерным евклидовым векторным пространством. Система аксиом 1 ° — 11°,. 17°, 18° полна, т. е. все /z-мерные евклидовы векторные пространства изоморфны между собой. Например, мно жество всех векторов на плоскости представляет собой двумерное