* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОНЯТИЕ О ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 377 вести все аксиомы 1°—16° (если определить векторы так, как это указано в § 1). Таким образом, система аксиом геометрии, приве­ денная на стр. 32—40, э к в и в а л е н т н а указанной здесь системе аксиом 1°— 16 Л 7*5. Некоторые типы многомерных пространств. Отметим в за­ ключение, что различные видоизменения аксиоматики 1°—16° при­ водят к определению других «геометрий», играющих очень важную роль в современной математике и ее приложениях. Мы уже отмечали выше, что всякое множество, удовлетворяющее аксиомам 1°—7°, называется векторным пространством. Аксиоматика 1°—7° не­ п о л н а , т. е. существуют различные, не изоморфные между собой векторные пространства. Если к аксиомам 1°—7° добавить сформулированные ниже аксиомы 17°, 18° (представляющие собой видоизменение аксиом 12°, 13°), то мы получаем n-мерное векторное пространство. Вот эти аксиомы размерности: 17° Существуют (в множестве R) п линейно независимых век­ торов. 18°. Всякие я + 1 векторов из R линейно зависимы. Примером множества, удовлетворяющего аксиомам 1°—7°, 17°, 18° (т. е. примером я-мерного векторного пространства) может служить множество всех многочленов степени меньшей п с действительными коэффициентами (сложение и умножение на число понимаются в обыч­ ном смысле). Другим примером может служить «арифметическая» модель, в которой «векторами» считаются всевозможные наборы (#,i х . . . , х„), состоящие из п действительных чисел, а сложение векторов и умножение вектора на число определяются следующим образом: если а=(х х , х ) и b = {y , у , у ) — произ­ вольные два вектора, а А — число, то г1 хл 2 п t г п a + b = (x + y х +у , Xa = {Kx Хх„ x v г г v х + П у ), п Хх ). п Система аксиом 1° — 7°, 17°, 18° полна, т. е. все л-мерные векторные пространства изоморфны между собой. В математике рассматриваются также бесконечномерные векторные пространства (в таком простран­ стве для любого п существуют п линейно независимых векторов). Подробнее о векторных пространствах читатель может прочитать в статье «Векторные пространства и линейные преобразования», поме­ щенной в кн. I I ЭЭМ. Всякое множество /?, удовлетворяющее аксиомам 1°—11°, 17°, 18°, называется n-мерным евклидовым векторным пространством. Система аксиом 1 ° — 11°,. 17°, 18° полна, т. е. все /z-мерные евклидовы векторные пространства изоморфны между собой. Например, мно­ жество всех векторов на плоскости представляет собой двумерное