* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

376 ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ ними описываются теми же четырьмя группами аксиом, которые рассмот­ рены выше. Пятая группа аксиом, связанная с откладыванием векто­ ров, формулируется следующим образом. V. Т о ч к и и откладывание векторов Кроме множества /?, элементы которого называются векторами и подчиняются аксиомам 1°—13°, вводится в рассмотрение мно­ жество А (пространство)^ элементы которого называются точками. Предполагается, что каждой упорядоченной паре точек М, N про­ странства А поставлен в соответствие некоторый вектор (т. е. эле­ мент множества /?), обозначаемый через MN, причем выполнены следующие три аксиомы: 14°. Для любой точки М пространства А и любого вектора а существует такая точка N пространства А, чго MN=a. 15°. Для любых трех (не обязательно различных) точек М N, Р пространства А выполнено соотношение MN -\-NP-\- РА/! = 0. 16°. Если MN = Q, то точки М и N совпадают. Аксиомами I — 1 6 ° и исчерпывается аксиоматика геометрии. Как же в этой аксиоматике определяются прямые, плоскости, отрезки и т . д.? Пусть М и N—две различные точки про­ странства А. Прямой MN мы будем называть множество, состоящее из всех таких точек Я, что векторы РМ и PN линейно зависимы. Из приведенных выше аксиом можно вывести, что прямая MN опре­ деляется не только точками Ми /V, но и любыми двумя своими различными точками; поэтому мы можем говорить просто о прямых линиях пространства А. Аналогично определяются плоскости: если М, Л/, Я—три точки пространства А, не лежащие на одной пря­ мой, то плоскостью MNP называется множество, состоящее из всех % е таких точек Q пространства А, что векторы QM, QN и QP линейно зависимы. Далее мы будем говорить, что точка Р лежит между точками М и N (где МфЫ), если существует такое число А, за­ ключенное между нулем и единицей, что МР=К-MN. Наконец, взаимно однозначное преобразование ф пространства А мы будем называть движением, если для любых двух точек М, N скалярный квадрат вектора MN равен скалярному квадрату вектора M'N' где М' = ф(М), N' = ф ( Л 0 Теперь мы имеем все основные понятия геометрии, описанные в аксиоматике, которая приведена на стр. 32—40. Не очень сложная проверка позволяет установить, что все аксиомы, указанные на стр. 32—40, здесь выполняются, так что приведенная здесь система аксиом 1°.—16° также доставляет нам аксиоматику геометрии. В свою очередь из аксиоматики, приведенной на стр. 32—40, можно выy