* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

372 ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ Действительно, в силу аксиом 4° и 5° мы имеем Р=\р=(\ + 0 ) - / > = 1 - р + 0 - / > = р + 0-р, независимы, и потому в силу теоремы 1 мы получаем 0-р = 0. Т е о р е м а 3. Если векторы а, Ь, с линейно то каждый из них отличен от 0. В самом деле, если, например, а = 0, то Ь а + 0-6 + 0-с = 1-0 + 0-6 + 0-с = 0 + 0 + 0 = 0, т. е. векторы а, 6. с линейно зависимы, а это противоречит предпо­ ложению. Т е о р е м а 4. Пусть а, 6, с—линейно независимые векторы. Положим a ' = A,a + fi6 + vc, где X, (1, v—действительные числа, причем КфО. Тогда а ' , 6, с линейно независимы. Действительно, пусть а а ' + 0 6 + ус = 0 т. е. ъ векторы a(X*T+|i6 + vc) + p6 + Yf = 0. Пользуясь аксиомами 6°, 7°, 5° (и аксиомой венство переписать в виде (СЕЛ) 2°), мы можем это ра­ а + (ap + Р) 6 + (av + у) с = 0. вытекает, Так как векторы а, 6, с линейно независимы, то отсюда что сЛ = 0, сиа + р = 0, av + Y = 0. Отсюда а = 0 (ибо кфО), и потому Р = 0, у = 0. Таким образом, равенство аа' + рб + у£ = 0 имеет место только в случае а = р = —Y = 0, т. е. векторы а ' , 6, с линейно независимы. Т е о р е м а 5. Для любых векторов а, 6 и любых действитель­ ных чисел К fi имеем: {Ка) (рб) = (кр.) (об). Действительно, в силу аксиом 8° и 10° мы имеем (%а) (цб) = М а (И*)) = * ((Цб) а) = Яр (6a) = (лр) (ab). Т е р е м а 6. Для любого отличного от нуля вектора а можно найти такое действительное число л, что вектор a* = >*а удовле­ творяет соотношению а*а*= 1. \ и применить теорему 5 (число аа У аа положительно в силу аксиомы 11°). Т е о р е м а 7. Существуют три вектора а, 6, с, удовлетво­ ряющих соотношениям aa = bb = cc = 1, (Такая тройка векторов называется ab = ac = 6с = 0. ортонормированным базисом.) Достаточно положить % =