* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

366 ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ вектора на число (97) и дистрибутивности (98), мы пришли к произведению [а, Ь]. Отсюда следует, что если бы мы дополнительно потребовали от «произведения» а*Ь коммутативности а*ь= ь*а (101) (102) t или ассоциативности в обычном смысле а * (Ъ * с) = (а * Ь) * с, то мы не пришли бы ни к какому «произведению» a* b отличному от (совершенно неинтересного) «нулевого произведения» а*Ь = 0. Таким об­ разом, требования (97), (98) и хотя бы одно из требований (101), (102) являются несовместимыми (если только еще требовать, чтобы «произведение» а * b имело геометрический смысл) § 6. Применения векторного исчисления к сферической геометрии и тригонометрии 6.1. Выражение сторон и углов сферического треугольника с помощью векторов. С помощью векторного исчисления можно весьма изящно дока­ зать многие теоремoi сферической геометрии и тригонометрии. Будем характеризовать каждую точку А сферы радиуса г е е радиусомвектором А с началом в центре сферы (рис. 81). Тогда 1-41 = г. (103) Очевидно, что радиусы-векторы двух диаметрально противоположных точек противоположны, а радиусы-векторы двух полярно сопряженных т о ч е к ) ортого­ нальны, т. е. условие диаметральной проти­ воположности точек А и В имеет вид 1 А+В=0, а условие полярной сопряженности и В имеет вид точек А АВ=0. Рис. 81. t (104) Стороны a b, с сферического треуголь ника ABC связаны с радиусами-векто­ рами А, А С его вершин очевидными соотношениями £M7=r cos-y , ЦА fll-^sln-j. 2 C 4 = /- cosy , t 2 AB=r*cosy \[A B]\ t . (105) (106) I [С. >l]| = r * s i n A = r* s\n^ Угол А этого сферического треугольника, т. е. угол ными к сторонам b и с, проведенным в точке А. равен скостями АОВ и АОС (где О—центр сферы), т е. равен пендикулярными к этим плоскостям векторами [А. В] между касатель­ углу между пло­ углу между пер­ и [А, С]. Отсюда ') По поводу используемых здесь понятий сферической геометрии см. статью «Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии» в этой книге ЭЭМ (стр. 518—557).