* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

364 ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ Заменяя здесь ос и ас на — дачи 12), получаем — ^ —— ^ и — (см. решение за­ 1 или а + а' = Ь + Ь' , г г г г что и требовалось доказать. Этому же равенству равносильно требование, чтобы высоты CR и OS пересекались между собой. Требование, чтобы пересекались высоты АР и CR (а также BQ и 05), равносильно равенству а» + а " = с + с " . Высоты BQ и С/? (а также АР и OS) пересекаются между собой тогда и только тогда, когда Ь + Ь' = с + г г г а с' . г Наконец, необходимым и достаточным условием пересечения в с е х высот тетраэдра в одной точке является выполнение равенств a* + a'* = b* + b'* = c + c 'г 2 5.6. Вопрос о единственности тройного и векторного произведений. В заключение остановимся на вопросе о том, насколько необходимым являются именно те определения векторного и тройного произведений, которые были приняты выше; при этом мы. естественно, требуем, чтобы эти «произведения» удовлетворяли тем условиям, справедливость кото­ рых и обусловила возможность употребления самого слова «произведение». Рассмотрим какую-либо операцию *, сопоставляющую с каждыми двумя векторами а и b третий вектор а* Ь. Потребуем, чтобы это «произ­ ведение» обладало свойством ассоциативности по отношению к умножению вектора на число: (Ха) *t>=a*(Xb) = X(a* b) (97) и свойством дистрибутивности а * (Ь+с)=а * b+а *с (98) Кроме того, потребуем, чтобы наше «произведение» а*Ь и м е л о г е о ­ м е т р и ч е с к и й с м ы с л ; другими словами, это означает, что если век­ торы ОА = а и ОВ = Ь могут быть переведены в векторы ОА = а и OB =b каким-либо движением в пространстве (каким-либо вращением вокруг точки О), то и вектор ОС=а*Ь должен переходить при этом движении в вектор ОС = а *Ь, (ср. стр 336) Докажем, что в таком случае «произведение» а*Ь с неизбежностью сводится к векторному произведению [а, Ь\ Положим а = а а ° , b = bb , где а° и Ь*—единичные векторы Из (97) выте кэет 1 1 l l х 1 Q a*b = (аа°) * (М>°> = (ab) (of • b% Таким образом, нам достаточно определить «произведение» единичных век­ торов (ср. выше, стр. 337).