* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

360 ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ Эта формула является «трехмерным аналогом» формулы (71') преды­ дущего параграфа (см. стр. 345). Формулу (92) также можно записать с использованием определи­ телей третьего порядка: i [а, Ь\ = х J У Уг k Z Z, (92а) х. Стоящий справа определитель», можно разложить первой строки: I по элементам J У Уг k Z У Ух Z Z, х X, г— х X, Z X J+ У Ух X. ft. (926) z. Формулу (92) (или (92а) — (926)) можно принять за о п р е д е л е н и е векторного произведения; из нее нетрудно вывести все его свойства. 5.4. Двойное векторное произведение. В качестве примера на использование формулы (92) докажем с ее помощью следующее тож­ дество: ic, [a, b\] = (bc)a—(ac)b. (94, Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы направление оси х совпадало с направлением вектора а; в качестве плоскости хОу выберем плоскость, содержащую векторы а и Ь; направление оси z при этом уже определится. В таком случае координаты век­ торов а, Ь, с будут иметь вид: (х, 0, 0); ( х у 0) и (х,, y z ). Вектор [а, Ь] будет в силу (92) иметь координаты (0, 0, ху ) а вектор [с, [а, Ь\\ будет в силу той же формулы (92) иметь коорди­ наты (y (xy ),—х (ху ) 0). Таким образом, мы нашли координаты вектора, стоящего в левой части соотношения (94). Далее, согласно (50а) мы имеем be = х х + y y , ас = х х , 1? 19 t% t х % t x г х 9 х л x t я и потому вектор {be) а имеет координаты ( x ( x , x + УхУ )у 0, 0), а вектор (ас)Ь—координаты ( х ^ х х , ) , у (хх ) 0). Отсюда, наконец, следует, что вектор (be) а—(ас) b имеет координаты(х(у у )—y^xxjfi). Таким образом, векторы, стоящие в левой и правой частях соотно­ шения (94), имеют одни и те же координаты, и потому соотно­ шение (94) справедливо. Заменяя в соотношении (94) обозначения векторов, получим t % л л 9 х г [а, [6, c]] = lb, [с, a\\ = (ac)b—(ab)c (ab)c—(bc)a. 1 (94a) (946)