* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

356 Формула ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ (a, Kb, с) = К(а, ft, с\ следует отсюда очевидным образом, если использовать антикоммута­ тивность тройного произведения: (a. Kb, с) = — iKb, а, г) = — К(Ь, а, с) = К(а ft, с). у Аналогично устанавливается соотношение (а, ft, Кс) = К (а ft, с). Установим теперь, что векторное произведение [а, Ь] ассоциа­ тивно по отношению к умножению любого вектора-сомножителя на численный множитель: л [Ха, Ь] = (а, Kb] = K\a t ft|. Ь]с. (87) В самом деле, имеем \Ка, Ь\с = (Ка. ft, с)=К(а< ft, с) = К\а. у Х Но если векторы \а b] = N и \Ка, Ь] = М таковы, что при л ю б о м векторе с имеем M c = KNc. т. е. (M —KN)c = 0* то, очевидно, М = Ш, т. е. \Ка, Ь\ = К\а. Ь]. Отсюда, используя антикоммутативность векторного произведения, сразу получаем и равенство [а, КЬ] = К[а, Ь]. Наконец, докажем дистрибутивность тройного произведения: x 1 Х (а, ft, <:, + <;,)= (а, 6, <\) + (а, ft, c ) t (88) н аналогично (а, b + b , x t с) = (а, ft,, с) + (а, ft,, с), t (а, + а „ ft, c) = ia , ft, с)+(а„ ft, с). (88а) 6, с,). анти­ В силу дистрибутивности скалярного произведения, очевидно, имеем (a, ft, с + c ) = [а, Ь](с, + с ) = |а, Ь)с + |а, b\ с,=(а, 6, с )+(а, х t г х х Формулы (88а) выводятся из формулы (88) с использованием коммутативности тройного произведения; так l a . b + b, x t с) = — (а, с, Ь + Ь ) = — (а, с, ft,)—(я, с, ft ) = х г 8 = (а, ft,, с) + (а, ft,, с). Докажем также н дистрибутивность [a, fr i + 2 2 векторного p произведения: ft]. (89) ft j = [a, ftj + [a, ft ], l ^ + a , , ft) = [ a ft] + |a„ Ясно, что достаточно доказать лишь первую из формул (89). Но [a, b + b ]c = [a, ft, + ft , г) = (а, ft , с) + (а, ft,, f) = = [а, 6 J c + [ a , ftjc = ([a, ftj + [a, x t 2 t ftj) c для любого вектора с. Отсюда: [a, fti + ft | = [a. b ]+\a, a x ft,]'