* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

350 ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ Таким образом, каждое «произведение» векторов, обладающее свойствами (55) — (57), сводится к комбинации (80) скалярного и ко­ сого произведений с некоторыми постоянными коэффициентами б и е. Ясно, что из всех таких «произведений» лишь скалярное является коммутативным (ср. выше, стр 338) и лишь косое яьляется антикоммута­ тивным. Отметим еще в заключение, что все наши рассуждения проводились в предположении, что две пары векторов а, Ь и а,, &, на плоскости, пере­ водимые одна в другую движением в п р о с т р а н с т в е (именно так в кон­ це § 3 мы переводили друг в друга пары векторов а , с и — а , с ) , но ие переводимые друг в друга движением на плоскости, н е с ч и т а ю т с я равными. Таким образом, здесь мы рассматриваем еометрию, в которой, скажем, две симметричные от­ носительно прямой фигуры (рнс. 73; такие фигуры нель­ зя перевести одну в другую движением, оставляющим их в плоскости) не считаются одинаковыми. Свое проявле­ ние этот подход находит в том, что в рассуждениях мы свободно пользовались поня­ тием н а п р а в л е н и я вра­ щ е н и я : угол (д, Ь) мы считали положительным или отрицательным в зависимости от того, каково направление вращения на меньший 180° угол, переводящего направ­ ление а в направление b (см. стр 339—340). Ясно, что если не различать между собой Рис. 73. также и симметричные фигу­ ры (и вообще произвольные фигуры, переводимые одна в другую движением в пространстве), то понятие «направление вращения» становится бессодержательным — ведь при симметрии относительно прямой направление цращения угла меняется на обратное (рис. 73). Плоскость, на которой задано определенное направление вращения углов, принимае­ мое за положительное, называется ориентированной плосьостью*). Таким образом, скалярное произведение векторов определяется на неориентиро­ ванной плоскости ); косое же произведение векторов можно определить лишь на ориентированной плоскости. 0 0 0 0 1 2 ') Другими словами, ориентированная плоскость—это поле действия «геометрии», изучающей свойства фигур, сохраняющиеся при движениях первого рода (собственных д в и ж е н и я х ) , в то время как обычная, или не­ ориентированная, плоскость рассматривается как поле действия геометрии, изучающей свойства фигур, сохраняющиеся при произвольных движе­ ниях (ср. § 6 статьи «Геометрические преобразования», а также стр. 524—526). *) Разумеется, ничто не мешает нам и на ориентированной плоскости рассматривав и скалярное произведение векторов (ср. с замечанием на стр. 341 о смысле символа ( а , Ь) в определении (45) скалярного произ­ ведения).