* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОСОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ ПЛОСКОСТИ 341 Равенства (63), (64) и (65) уже дают основания для того, чтобы присвоить величине S(a b) название «произведения». Эту величину называют косым произведением') векторов а и b и обозначают через с Х Ь . Равенства (64), (65) и (63) теперь можно переписать так: } аХЬ= —ЬХ<*; аХФ + 0 = *ХЬ + аХя (la) ХЬ = аХ(№) = Ь{<*ХЬ). (66) (67) (68) Таким образом, косое произведение является ассоциативным по от* ношению к умножению вектора на число (см. (68)) и дистрибутивным относительно сложения векторов (см. (67)), но не коммутативным» а ан­ тик оммутативным (так выражают словами равенство (66)). Заметим также, что известная формула для площади параллелограмма и прави­ ло определения знака произведения axb позволяют утверждать, что а X b = ab sin / _ (a, b) л л t (69) где под /_(а Ь) теперь надо понимать о р и е н т и р о в а н н ы й у г о л между векторами а и Ь т. е. угол, знак которого определяется, как в тригонометрии (угол ^ (с, Ь) = ц> положителен, если направление вектора а совмещается с направлением вектора b вращением на угол ф в направлении против часовой стрелки, и отрицательным, если вектор а принимает направление вектора b при вращении на угол ф по часовой стрелке). То обстоятельство, что в формуле (45) мы под (а, Ь) понимали неориентированный угол между а и Ь т. е. что в двух соседних формулах мы одним и тем же символом обозначаем разные величины, не должно нас смущать, ибо можно считать, что и в формуле (45) угол ^(а,Ь) является ориентированным (ибо c o s ( — a ) = c o s a ) . Из формулы (69) вытекает, в частности, что косое произведение двух векторов а и b равно нулю в том и только в том случае, когда один из этих двух векторов нулевой (в этом случае о на­ правлении этого вектора вообще не приходится говорить), или когда векторы а и b параллельны (и, значит, угол ф равен О или 180°). В частности, «косой квадрат» вектора всегда равен нулю: л а Х я = 0. (70) Это обстоятельство часто оказывается важным. Отметим еще сле­ дующее простое соотношение, связывающее скалярное и косое про­ изведения двух векторов: (аЬ) + {аХ Ь) = а*Ь* г г ( = оV); (71) это соотношение сразу следует из формул (45) и (69). Относящиеся к косому произведению правила (66)—(68) позво­ ляют раскрывать скобки при косом умножении сложных комбинаций •) В литературе употребляется также термин псевдоскалярное произведение.