* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

338 ВЕКТОРЫ I I ИХ ПРИМЕНЕНИИ В ГЕОМЕТРИИ В нашем рассуждении мы нигде не использовали равенства (54). Однако если рассматриваются векторы не в пространстве, а на плоскости, и соот­ ветственно этому «равными» считаются лишь пары векторов, переводимые одна в другую движением в п л о с к о с т и , то заключение о том. что пары векторов а \ с* и — а \ с (где а'*=с*=\, a J _ r ) «равны» между собой, будет у ж е неверно. В этом случае «равны» лишь пары а\ с и с \ — а ° (они получаются одна из другой вращением на 90° вокруг общего начала О векторов; см. рис. 60). Отсюда следует, что 0 J IJ 0 ^oc'ec'ej- с°)=—(с°од°). и если имеет место также условие (54). то снова получаем а°ос° = — (с* о с»), т. е. o or° = 0. rt Если же не требовать выполнения условия (54), то доказать равенство (53) нельзя (см. ниже, стр. 349—350). § 4. Косое произведение векторов плоскости 4.1. Ориентированные площади и косое произведение векто­ ров. До сих пор мы все время рассматривали одновременно векторы на плоскости и векторы в пространстве; различия между этими двумя случаями были для нас весьма несущественными. Далее, однако, мы будг-м рассматривать геометрию на плоскости и геометрию в про­ странстве раздельно, поскольку в разбираемых здесь вопросах различие между той и другой сказывается очень сильно. В этом параграфе мы будем говорить лишь о векторах на пло­ скости. Вспомним определение скалярного произве­ дения. Скалярное произведение ab двух векто­ ров а и b есть число, сопоставляемое опре­ деленным образом с этими двумя векторами. Геометрический смысл этого числа не слишком В прост—он дается формулой (45) или почти столь же искусственной формулой (44). Цен­ ность скалярного произведения (и уместность употребления в применении к атому числу слова «произведение», обычно имеющего совсем другой смысл) определяется лишь свой­ ствами (47), (48), (49) скалярного произведения, весьма похожими на привычные свойства умножения чисел. Здесь мы определим еще одно «произведение векторов», обладающее почти столь же простыми свойствами. Ясно, что сопоставить число с двумя векторами можно весьма разнообразными способами. Так, например, можно объявить этим числом площадь построен­ ного на векторах а и b треугольника ОАВ или параллелограмма OADB (рис. 61). Однако предложение назвать площадь &OADB новым