* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

314 И ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ Ка = К [xf+yj) = (Kx ) i + t {hyjj, что и доказывает наше утверждение. Разбор случая векторов в про. странстве (векторов, имеющих три координаты), почти не отличаю щегося от рассмотренного, мы предоставим читателю. 2.10. Линейная зависимость векторов. Отметим еще важное понятие линейной зависимости векторов, которое будет использо­ вано ниже, в § 7. Векторы с , , . . , a называются линейно зависи­ мыми, если существуют такие числа а,, . . . , а , среди которых есть хотя бы одно отличное от нуля, что k л a . i + гг k f l а а + ••-+ « А =< > v А Если таких чисел а . . , a подобрать нельзя, то векторы a . ,а называются линейно независимыми. Имеют место следующие пред­ ложения: Если два вектора параллельны одной прямой, то они линейно зависимы. Если три вектора параллельны одной плоскости, то они линейно зависимы. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы. Справедливость первого предложения вытекает из предложения 1 на стр. 310. Пусть теперь а, Ь, с — три вектора, параллельные одной плоскости. Если векторы а, Ь параллельны одной прямой, то между ними существует линейная зависимость: (Ш + Р& = 0, и потому между векторами в , Ь, С имеется линейная зависимость aa + $b-\-Qc = Q. Если же векторы а и & не параллельны одной прямой, то, согласно (25). c = xa-\-yb, где х, у — действительные числа, и потому между век­ торами в , Ь, с имеется линейная зависимость xa-\-yb + {—1)с = 0. Наконец, пусть в , Ь, С, й — четыре вектора пространства. Если век­ торы а, Ь, с параллельны одной плоскости, то между ними сущест­ вует линейная зависимость: aa-{-fib-\-yc = 0 и потому между век­ торами a, b,c,d имеется линейная зависимость а а + $Ь+ус + ®d ==0. Если же векторы а, Ь, с не параллельны одной плоскости, то, со­ гласно (26), d = xa-\-yb+zc где JC, у, z—действительные числа, и потому между векторами а, Ь, с, d и в этом случае имеется линей­ ная зависимость xa-\-yb-\-zc-{-(—l)d = 0. Итак, в пространстве существуют т р и линейно независимых век­ тора (три вектора, не параллельных одной плоскости), но любые че­ тыре вектора линейно зависимы. Этот факт обычно и имеют в виду, когда говорят, что пространство имеет три измерения. Плоскость имеет д в а измерения, так как на ней можно найти два линейно не­ зависимых вектора (два вектора, не параллельных между собой), но любые три вектора на плоскости линейно зависимы. Наконец, пря­ мая имеет одно измерение. В математике рассматриваются также пространства любого (и даже бесконечного) числа измерений. Нер f f