* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

226 О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ строить хотя бы один первообразный корень; этого и достаточно, потому что тогда все остальные корни будут его степенями. Поэтому остается выяснить, принадлежат ли допустимому расширению поля Q (/) (или, что А— 1 р р х ft— 1 _г все равно, поля Q) корни многочлена х 1р~ч + 'р >^_ . + \ Ответ (по крайней мере, частичный) получить очень легко, если при­ нять без доказательства, что этот многочлен неприводим (существует ряд доказательств этого факта, и все они используют довольно тонкие ариф­ метические соображения,— причиной неразрешимости геометрической задачи в конечном счете оказываются снова некоторые свойства целых чисел!). Тогда из теоремы 2 (стр. 219) следует, что если р * (р — 1) Ф 2", то пра­ вильный p''-угольник нельзя построить циркулем и линейкой. Тем самым устанавливается, что если р^-угольник можно построить, то либо р = 2, либо р > 2. и тогда обязательно k — I и р — 1 = 2 " . Из того, что мы доказали, однако, нельзя заключить, что если р = 2 -\-1 — простое число, то правильный р-угольник можно построить циркулем и лине кой. Это утверждение на самом деле справедливо, и оно было впервые показано Гауссом. При я = 1 получается число р = 2 + 1 = 3 ; при л = 2—число р = 5; при п=*3 получаем не простое число 2 + 1 = 9 ; при я = 4 получаем р = 1 7 . Возможность построить циркулем и линейкой правильный 17-угольник вообще не была известна до работы Гаусса, и найти такое построение с помощью только геометрической интуиции очень трудно, если не невоз­ можно. В алгебраической формулировке дело сводится к установлению того, что корни 17-й степени из единицы можно выразить через числа поля Q (i) с помощью извлечения квадратных корней; это—задача не лег­ кая, но вполне доступная для изложения даже на этих страницах и, по существу, не требующая никаких дополнительных знаний Мы, однако, оставим этот вопрос в стороне. 3.5. Квадратура круга. З а д а ч а 5. Дан круг; построить квад­ - 1 п 1 3 рат, равновеликий этому кругу. Мы у ж е упоминали, что э т а задача т о ж е неразрешима с помощью циркуля и линейки. О д н а к о природа этой неразрешимости совер­ ш е н н о не такая, как у разобранных д о сих пор з а д а ч . Как обычно, радиус круга можно считать единичным; д е л о сво­ д и т с я тогда к построению квадрата площади л, т. е. отрезка длины J / J I . Если бы мы могли построить о т р е з о к длины л, то-мы могли бы построить и о т р е з о к длины | A t , и наоборот. Таким образом, истинная т р у д н о с т ь задачи о квадратуре круга заключается в зада­ че о спрямлении (полу)окружности, т. е. в построении отрезка длины я . Мы пришли к вопросу: принадлежит ли число л д о п у с т и м о м у расширению поля рациональных чисел Q? В прежних задачах отрицательный о т в е т на такого рода вопросы получался так: искомое число было корнем какого-то многочлена с рациональными коэффициентами, и дальше мы старались применить к э т о м у многочлену или к е г о д е л и т е л ю теорему 2 ' (или теорему 2). В этом месте с т о и т напомнить и обратный р е з у л ь т а т : если число х принадлежит д о п у с т и м о м у расширению поля К т о о н о , во всяком с л у ч а е , является корнем какого-то многочлена с коэффициентами в п о л е К (этот р е з у л ь т а т справедлив для любых конечных расширений лоля К, а всякое д о п у с т и м о е расширение, по о п р е д е л е н и ю , конечно). У