* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 225 Удобно взять / = 3 и произвести замену переменного, положив у = 2 д с — 2 . Число у является тогда корнем уравнения / — 1 5 > — 10 = 0. Как и прежде, для доказательства неприводимости многочлена у — \5у—10 достаточно установить, что у него нет рационального 9 корня. Пусть такой корень есть, и он равен - £ - , г д е р , q — взаимно простые целые числа. Тогда р = 5? (Зр + 2 ) , 9 в я следовательно, р = 5г, где г—целое в число, так что 2 5 г = < 7 ' ( 1 5 г + 2<7). Но последнее равенство невозможно, потому что q не делится на 5. Наконец, разберем вкратце еще две классические задачи. Для полного их исследования изложенной выше теории оказывается не­ достаточно, и некоторые необходимые результаты нам придется при нять без доказательства. 3.4. Построение правильных многоугольников. З а д а ч а 4 Дана ок­ ружность радиуса единица; требуепься угольник с заданным числом сторон. п вписать в нее правильный много­ Пусть число сторон равно л; в удобной системе координат задача сво­ дится к построению корней /1-й степени из единицы, т е корней много­ члена г —1 Этот многочлен безусловно приводим: он всегда делится на л г—1, и даже на г + 1, если п четно. Согласно общему правилу, следует разложить многочлен г —1 на непринодимые множители, однако мы сна­ чала несколько упростим задачу, пользуясь се геометрическим истолко­ ванием Пусть n — pq, где р, q—взаимно п р о с т ы е целые числа, оба не равные единице Покажем, что если можно построить циркулем и линей­ п 8 кой правильный п-угольник, то можно построить также правильнее ник и q-угольник, и наоборот, если можно построить правильнее ник и q-угольник, то можно построить и правильней pq-цгольни*. р-удоль­ р-уголь­ t Первое утверждение очевидно, второе вытекает из того, что если 6,(1—1, , p) 1^(/ = | , . , q) — все корни из едимнцм р-й и g-й степени соответствен но, то попарные произведения zfr\ представляют собой все корни из единицы pq-и степени. Отсюда следует, что д«>статочно разобрать вопрос о много­ угольниках е p сторонами, где р—простое число* a — любое целое f k положительное число. Если р = 2, то при любом k осе корни многочлена X s —1 принадле­ жат допустимым расширениям поля Q(t) (и, значит, поля Q\ Читателю полезно проверить это утверждение алгебраически; геометрически оно вы­ текает из тою, что любую дугу можно разделить циркулем и линейкой иа 2* раоьых частей. Пусть теперь р=*З.Прежде всего л* — I = ( х " — \)(х +...+]). Корни первого множителя—это осе непервообразные корни из еди­ ницы р*-й степени. Для построения р*-угольника неооходимо уметь р 15 Энциклопедия, ки. 4