* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 223 т. е., что левая часть уравнения 8х а — 6х — 1 = 0 (7) является неприводимым многочленом над полем Q(/\ ] / 3 ) . Если мы докажем, что многочлен 8х* — 6х—1 неириводим над полем раци­ ональных чисел Q, то отсюда будет следовать, что он неприводим и над полем Q ( i , |/"3), потому что любое допустимое расширение поля Q(/, 1^3) является допустимым расширением поля Q. Решая задачу об удвоении куба, мы уже установили, что для доказательства неприводимости кубического многочлена над полем рациональных чисел достаточно установить, что у него нет рациональ­ ных корней. Предположим, что такой корень есть; положим 2х=^, где р , д— целые взаимно простые числа. Из равенства (7) находим p*-3pq 9 2 = q\ так что д делится на р и, значит, р = ± 1 . Тогда д удовлетворяет уравнению # ' ± 3 £ F l = 0 : так как д — целое число, то оно должно быть делителем свободного члена этого уравнения, так что если це­ лый корень есть, он равен ± 1 . Но, очевидно, соответствующие , = значения х = ± у не являются решениями уравнения (7). Следова­ тельно, оно вовсе не имеет рациональных решений. Итак, циркулем и линейкой нельзя разделить на три равные ча­ сти угол - ^ - = 6 0 ° , т. е. нельзя построить угол "g *"^ — 20°. 3.3. Построение треугольника пи его биссектрисам. Сейчас мы разберем одну менее традиционную задачу. Треугольник определяется своими тремя линейными элементами: тремя сторонами, гремя высо­ тами, тремя медианами или, наконец, тремя биссектрисами. Постро­ ить треугольник циркулем и линейкой по заданным сторонам высо­ там или медианам сравнительно нетрудно. Не так обстоит дело с биссектрисами. Оказывается, что задача построения треугольника по заданным отрезкам биссектрис его углов от вершины до противоположной стороны неразрешима с помощью циркуля и линейки. Как и в задаче о трисекции угла, мы не станем разбирать во­ прос о неразрешимости «в общем случае» и проведем соответству­ ющее рассуждение для частных значений длин биссектрис. Удобно считать, что две из них равны, потому что тогда удается свести задачу к исследованию кубического многочлена; если этого предпо­ ложения не делать, пришлось бы рассмотреть уравнение шестнадцатой -