* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

222 О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ К= Q(i, coscp + Zsincp). Построить у г о л — з н а ч и т построить число cos-g--f-^sin-g- или, что равносильно, построить число cos-^-. В силу известных формул тригонометрии, cos ф = cos ( 2 - | - + = cos 2 -|- cos | - — sin 2 - | - sin - | - = = ( или 2cos " т- ) 1 cos т - 2 s i n Т c o s Т s i n f= cos f = 2 cos' f _ c o . i + 2 ( 1 - c o s ' cos ф = 4cos" - | — 3 cos - y . Таким образом, число cos 8 является корнем уравнения (6 \ 4 х — Зх—cos ф = 0. Итак, мы должны построить корень уравнения (6). Перед нами снова многочлен третьей степени; мы должны ра­ зобраться, приводим ли он над полем K=Q(i* cosф + / s i n ф ) . При некоторых значениях ф он, безусловно, приводим; например, при 4х —Зх—cos 9 i = 4х — 3х=х 9 (Ах —3). г Это соответствует хорошо известному обстоятельству: прямой угол можно разделить на три равные части с помощью циркуля и линейки (при желании читатель может осущест-шть «алгебраически» это по­ строение, решив уравнение 4дг*— 3 = 0 и построив его корни). Можно придать точный смысл следующему утверждению, устанав­ ливающему в некотором смысле противоположный результат: при* общем значении ф многочлен 4JC —Зх—cos ф неприводам над полем. К= Q[i с о з ф - Н в ш ф ) . Слово «общий» в этой фразе можно определять разными спосо­ бами; обсуждение этих способов и доказательство завели бы нас слишком далеко. Поэтому ограничимся указанием конкретного зна­ чения угла ф, который нельзя циркулем и линейкой разделить на S % три равные части. Это — угол ф = - р . Для доказательства Л следует установить, что при ф ^ : - * - многочлен, стоящий в левой части урав­ нении (6), неприводим над полем Q(i, COS-=- + ' s i n = Q ( i , ± + i i ^ ) = Q(*, | / 3 ) ,