* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 221 З а д а ч а 1. Задан куб (длиной своего ребра). Требуется по­ строить другой куб (т. е. его ребро), объем которого вдвое больше объема данного куба. Начало исследования очевидно. Даны две точки (ребро куба). Как обычно, принимаем их за точки 0 и 1 на комплексной плоскости. Длина ребра удвоенного куба равна вещественному значению 2; для построения точки jjJ/2 мы должны изучить многочлен х* — 2. Степень его равна трем, и если он неприводим над основным полем K=Q(i) (Q—поле рациональных чисел), то задача удвоения куба неразрешима. Докажем, что многочлен х*—2 действительно непри­ водим. Если бы многочлен х* — 2 был приводим над полем (?(/), то один из множителей обязательно был бы первой степени. Если бы соответствующий корень не был вещественным, то выделился бы и другой множитель первой степени с сопряженным корнем, а остав­ шийся третий множитель был бы линейным и имел бы уже вещест­ венный корень. Это рассуждение применимо к любому многочлену третьей степени с вещественными коэффициентами: если такой многочлен приводим над полем Q(i)> то один из множителей линеен и имеет вещественный, а следовательно, даже рациональный корень. Но многочлен X —2 не имеет рационального корня, потому что единственное вещественное значение \ / 2 иррационально. Напомним доказательство этого факта. Допустим, что jJ/2 = p q, где р, q — взаимно простые целые числа. Тогда p* = 2q*, так что число р должно быть четным; пусть p = 2p тогда 4pJ = 0* и, следовательно, число q тоже должно быть четным, а это про­ тиворечит тому, что р и q взаимно просты. Интересно, что на последней стадии решения геометрической задачи нам пришлось воспользоваться даже чисто арифметическими соображениями, хогя пока и не очень сложными! 3.2. Трисекция угла. 3 а д а•I а 2. Мая 'угол <р; построить 1 угол -g- ф. Задать угол ф — значит задать три точки: точку 0 — его вершину, точку 1 на одной из сторон, кото­ рую мы примем за вещественную ось, и точку 2\ лежащую на дру­ Рис. 9. гой стороне и имеющую модуль \z\ = 1 (рис. 9). О «евилно, z= соэф -f-isinф. Таким образом, поле К соответствующее заданной системе точек, имеет вид s v ъ