* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

220 О РЕЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ Теперь мы можем следующим образом переформулировать теорему 2: если расширение LzdK поля К содержится в допустимом расширении поля К. то степень (L' К) равна 2 , где n^=5s\—ц°лое число ). Нам понадобится следующий простой результат. Пусть K c L c M — ц е ­ почка конечных расширений Положим t = (L:K), т = (М;К). n = (M:L) Тогда т=1п (5) Ч 1 Доказывают это равенство обычно следующим образом. Пусть л,, . . . , л, —базис поля L над полем К\ pi. . Рп—базис поля М над полем L . Тогда элементы (л-,р„ Х,и. , . . . Х,и.„; . . . ; . . л ^ ц . ) , т. е. совокупность всевозможных попарных произведений л,ру,-образуют базис поля М над полем К. Но количество элементов в этом базисе, совпадающее со степенью (Л1 :К) = т , в точности равно In. Из равенства (5) уже сразу следует теорема 2. В самом деле, пусть L—K(\Tz) — квадратичное расширение поля Д". Тогда степень его равна в точности 2, потому что в качестве базиса расширения L над К можно взять элементы (1. У"г). Поэтому степень любого допустимого расширения 4 п равна (в силу соотношения (5)) 2 . Н о тогда степень (L:K) любого рас­ ширения L поля /С. содержащегося в допустимом расширении К', должна (снова из-за соотношения (5)) делить число 2 . Поэтому (L:K) = 2", O ^ n ^ m . Теорема 2 доказана. я т § 3. Классические задачи 3.1. Удвоение куба. Теперь мы уже можем применить развитую общую теорию к ряду геометрических задач. Наша основная цель состояла в том, чтобы научиться доказывать неразрешимость неко­ торых задач, т. е. невозможность построить ряд геометрических объектов с помощью циркуля и линейки. В соответствии с этим и подобраны примеры. Главным нашим инструментом будет теорема 2. Ход исследования всякой задачи следующий: мы переводим ее на алгебраический язык, составляем уравнения для искомых точек, выясняем их степень и непри­ водимость. Если степень не равна 2 , а многочлен неприводим, то искомую точку (см. теорему 2), нельзя построить с помощью циркуля и линейки, так что соответствующая задача на построение неразрешима *). л ') В такой формулировке этот результат представляется даже более сильным — заранее совсем неочевидно, что вея/о конечное расширение L^K имеет вид L = / C ( H ) . где 6—корень неприводимого многочлена. Это. однако, можно доказать. Нам это утверждение не понадобится, потому что из доказательства переформулированной теоремы 2, во всяком случае, теорема 2 сразу же следует. ) Читатель, ограничившийся ранее изучением теорем Г и 2', будет рассуждать так: если многочлен неприводим, а его степень равна трем, то искомую точку, как явствует из теоремы 2', нельзя построить с помо­ щью циркуля и линейки, так что соответствующая задача на построение неразрешима. Это позволяет полностью понять приведенные в тексте за­ дачи 1, 2, 3. 9 2