* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

216 О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ Для того чтобы точку z можно было построить циркулем и линейкой, исходя из совокупности точек А, необходимо и доста­ точно, чтобы точка z содержалась в некотором допустимом расширении поля К. Этот результат представляет собой простую перефразировку доказанной выше основной леммы. Теперь следует разобраться в том, как применять этот резуль­ тат к конкретным геометрическим задачам. Для возможности такого применения следует прежде всего ре­ шить соответствующую алгебраическую задачу. Это означает, что мы должны считать искомые точки (т. е. те, которые нужно постро­ ить) неизвестными и составить для них систему уравнений, исходя из условий задачи (в коэффициенты этих уравнений войдут числа, соответствующие данным точкам). После этого мы должны либо су­ меть записать корни уравнений (т. е. искомые точки) в виде неко­ торых выражений, содержащих в конечном числе операции сложения, умножения, деления и извлечения квадратного корня, примененные к первоначально заданным числам, либо установить, что таких вы­ ражений не может существовать. В первом случае мы сможем затем геометрически получить ответ на задачу, строя с помощью циркуля и линейки корни нашей си­ стемы уравнений. Гораздо интереснее второй случай, потому что мы сталкиваемся здесь с вопросом нового типа: как установить, что корни данной системы уравнений не принадлежат допустимому расши­ рению данного поля? 2.3 Алгебраические рассмотрения'). Ответ на поставленный вопрос не прост. Больше того, если не накладывать никаких ограничений на систему уравнений, которая может получиться в результате, то даже не удастся высказатг никаких общих соображений по этому поводу. Мы по­ этому наложим следующее условие на рассматриваемый класс задач: их решение должно сводиться к решению системы уравнений вида г1 ~ (3) . * )=о. J п где Xf—неизвестные точки, a F;—многочлены от переменных х,-, коэффи­ циенты которых нходят в поле К, соответствующее заданной первоначаль­ но системе точек. (Задачи трисекции угла и удвоения куба принадле­ жат к ЭТОМУ типу; задача квадратуры круга не принадлежит Об этом мы ещ скажем позже ) Если геометрическая задача правильш поставлена, в частности если начальных J энных достаточно, то сна должна допускать только конечное число ответов В алгебре доказывается, что тогда систему уравнений (3) г ') Этот пункт рекомендуем при первом чтении стат! и пропустить и перейти сразу к п 2.4. Ущерба для понимания геометрической части статьи при этом не произойдет.