* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПЕРЕВОД ЗАДАЧИ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ЯЗЫК 215 точки, принадлежащие совокупности А . Как мы видели выше, урав­ нение рассматриваемой окружности С, построенной на базе системы точек A можно записать в виде (2), где d, е и г — действитель­ ные числа, принадлежащие полю К . Далее, любое рациональное число k принадлежит полю К (ибо 1 £ К ). Будем теперь рассмат­ ривать всевозможные точки пересечения окружности С с прямыми, параллельными оси абсцисс и расположенными на рациональном рас­ стоянии от этой оси, т. е. с прямыми Y=k, где k — произвольное рациональное число. Ясно, что эти точки пересечения всюду плотно расположены на окружности С и, в частности, на дуге L . Но каж­ дая такая точка пересечения имеет в качестве своих координат X, Y решение системы п я nt п п п (*-d) 2 + (K--*)' = r , Y=k, 8 и потому, как мы видели выше, эта точка пересечения принадлежит полю вида К„(У~%) где z£K . Итак, выбор «произвольной» точки на дуге L всегда можно осуществить так, чтобы выбранная точка принадлежала полю K (V7), потому либо K = K , либо 9 n и n n + l n = M V ^ ) > где Разобрать случай, когда нужно выбирать точку внутри области, частично ограниченной прямыми и дугами, не представляет труда. Достаточно, например, заметить, что внутри области всегда можно найти точку с рациональными координатами, т. е. точку, принадле­ жащую полю К Таким образом, наша лемма полностью доказана. 2*2. Выводы. Доказанная только что лемма в некотором смысле решает основной вопрос теории построений с помощью циркуля и линейки, сформулированный в конце § 1. Для точной формулировки ответа введем несколько новых понятий. Обозначим буквой А систему заданных точек, а буквой К — поле, соответствующее этой системе (напомним, что оно содержит заданные точки, число i и все сопряженные ко всем своим элементам; притом это поле является наименьшим с указанными свойствами). Для любого поля L его квадратичным расширением назовем поле вида L (]/"#), где число z£L не является полным квадратом в поле L . Назовем конечное расширение К поля К допустимым, если оно получается из поля К в результате конечной цепочки квадратичных расширений: с К = К'; + 1 п 1 п K„ * f , = * . - ( V * D . *i^Ki + (i = 0 1, t .. / 2 - 1 ) . Теперь ответ на основной вопрос теории носiроений можно сфор­ мулировать так: